Conjuntos numéricos - FME vol 01

a) Mostre, por meio de um exemplo, que existe um número irracional a tal que a⁴ e a⁶ são números racionais.

b) Mostre que, se a⁷ e a¹² são racionais, então a é racional.

Galera, eu fiz a letra a usando como exemplo pedido √2. Já na b eu travei, como posso fazê-la?

a = √2 ---> (√2)⁴ = (2^1/2)⁴ = 2² = 4

a = √2 ---> (√2)⁶ = (2^1/2)⁶ = 2³ = 8

Achei a resposta para a b, professor, muito obrigado  ,

b) 


[latex]a^{7} \in \mathbb{Q} \wedge a^{12} \in \mathbb{Q} \Rightarrow a \in \mathbb{Q}[/latex]
[latex]a = \frac{b}{c}, b \wedge c \in \mathbb{Z}[/latex] (isso faz com que a seja racional)



[latex]a^{7} = \left ( \frac{b}{c} \right )^{7} = \frac{b^{7}}{c^{7}} \Rightarrow a^{7} \in \mathbb{Q}[/latex]

Como b e c são inteiros, um número inteiro vezes um número inteiro (como é o caso de b elevado a 7 e c elevado a 7) resultará em um número inteiro. A divisão de um número inteiro por inteiro resultará em um racional.


Repete-se o mesmo para a^12.

João Pedro BR escreveu:b) 


[latex]a^{7} \in \mathbb{Q} \wedge a^{12} \in \mathbb{Q} \Rightarrow a \in \mathbb{Q}[/latex]
[latex]a = \frac{b}{c}, b \wedge c \in \mathbb{Z}[/latex] (isso faz com que a seja racional)



[latex]a^{7} = \left ( \frac{b}{c} \right )^{7} = \frac{b^{7}}{c^{7}} \Rightarrow a^{7} \in \mathbb{Q}[/latex]

Como b e c são inteiros, um número inteiro vezes um número inteiro (como é o caso de b elevado a 7 e c elevado a 7) resultará em um número inteiro. A divisão de um número inteiro por inteiro resultará em um racional.


Repete-se o mesmo para a^12.

É válida essa demonstração?

Ela não é válida porque você tenta provar que "a" é racional assumindo que "a" é racional, o que é uma contradição. Você poderia partir da negação da tese e demonstrar que isso é absurdo, ao qual negando a negação da tese teríamos a tese em si, ao qual deseja-se demonstrar; essa técnica de demonstração chama-se de redução ao absurdo. No caso:

[latex]\underset{(I)}{\underbrace{a^{7} \in \mathbb{Q} \; \wedge \; a^{12} \in \mathbb{Q} \; \wedge \; a\notin \mathbb{Q}}}[/latex]

E da definição de racional, então teríamos:

[latex]\underset{(II)}{\underbrace{a^{12}=\left ( \frac{a^{7}}{a} \right )^2 \; \wedge \; (I) \; \Leftrightarrow a^{2}\in \mathbb{\mathbb{Z}^{*}}}}[/latex]

E sabendo que a multiplicação dum irracional com um racional sempre resulta num irracional:

[latex]a^{7}=\left ( a^{2} \right )^{3} \cdot \left ( a \right ) \; \wedge \; (I) \; \wedge \; (II) \Leftrightarrow a^{7}\in \mathbb{I}\; \wedge \; a^{7}\in \mathbb{Q}\; \; \left ( ABSURDO! \right )[/latex]

Ora, como é falso que "a" é irracional, então a negação disto é que "a" é racional, no conjunto universo real.

Essa técnica de demonstração no início me deixava com um pé atrás porque parecia uma espécie de trapaça, mas após verificá-la através da tabela verdade eu fiquei mais tranquilo, aliás, o cerne por trás disso é através dessa tautologia:

[latex]\left ( \sim p\rightarrow q \right ) \; \wedge \; \left ( \sim p \rightarrow \sim q \right ) \rightarrow p [/latex]

Lucas_DN684 escreveu:

João Pedro BR escreveu:b) 


[latex]a^{7} \in \mathbb{Q} \wedge a^{12} \in \mathbb{Q} \Rightarrow a \in \mathbb{Q}[/latex]
[latex]a = \frac{b}{c}, b \wedge c \in \mathbb{Z}[/latex] (isso faz com que a seja racional)



[latex]a^{7} = \left ( \frac{b}{c} \right )^{7} = \frac{b^{7}}{c^{7}} \Rightarrow a^{7} \in \mathbb{Q}[/latex]

Como b e c são inteiros, um número inteiro vezes um número inteiro (como é o caso de b elevado a 7 e c elevado a 7) resultará em um número inteiro. A divisão de um número inteiro por inteiro resultará em um racional.


Repete-se o mesmo para a^12.

É válida essa demonstração?

Ela não é válida porque você tenta provar que "a" é racional assumindo que "a" é racional, o que é uma contradição. Você poderia partir da negação da tese e demonstrar que isso é absurdo, ao qual negando a negação da tese teríamos a tese em si, ao qual deseja-se demonstrar; essa técnica de demonstração chama-se de redução ao absurdo. No caso:

[latex]\underset{(I)}{\underbrace{a^{7} \in \mathbb{Q} \; \wedge \; a^{12} \in \mathbb{Q} \; \wedge \; a\notin \mathbb{Q}}}[/latex]

E da definição de racional, então teríamos:

[latex]\underset{(II)}{\underbrace{a^{12}=\left ( \frac{a^{7}}{a} \right )^2 \; \wedge \; (I) \; \Leftrightarrow a^{2}\in \mathbb{\mathbb{Z}^{*}}}}[/latex]

E sabendo que a multiplicação dum irracional com um racional sempre resulta num irracional:

[latex]a^{7}=\left ( a^{2} \right )^{3} \cdot \left ( a \right ) \; \wedge \; (I) \; \wedge \; (II) \Leftrightarrow a^{7}\in \mathbb{I}\; \wedge \; a^{7}\in \mathbb{Q}\; \; \left ( ABSURDO! \right )[/latex]

Ora, como é falso que "a" é irracional, então a negação disto é que "a" é racional, no conjunto universo real.

Essa técnica de demonstração no início me deixava com um pé atrás porque parecia uma espécie de trapaça, mas após verificá-la através da tabela verdade eu fiquei mais tranquilo, aliás, o cerne por trás disso é através dessa tautologia:

[latex]\left ( \sim p\rightarrow q \right ) \; \wedge \; \left ( \sim p \rightarrow \sim q \right ) \rightarrow p [/latex]

Obrigado novamente, Lucas!