Demonstração

por Matjeq Sex 22 Dez 2017, 14:46

Demostre que,se n for um inteiro positivo,então 7^(n)-1 é divisível por 6.
Demostre que 1+3+5+...+(2n-1)=n^(2).

por renan2014 Sex 22 Dez 2017, 16:04

Por estarem juntos, parece que você quer por indução. Então:

$7^{n}-1$

Base Indutiva: n=1 OK!

Hipótese: $7^{k}-1=6a$ a natural

Tese: $7^{k+1}-1=6a'$ a' natural

Da tese temos:

$7^{k}-1=6a$ x (7)

$7^{k+1}-7=6b$

$7^{k+1}-1-6=6b$

$7^{k+1}-1=6(b+1)$

Provamos

Base indutiva: n=1 OK!

Hipótese: $1+3+5+...+(2k-1)=k^{2}$ k inteiro

Tese: $1+3+5+...+(2k+1)=(k+1)^{2}$

Da hipótese basta somar 2k+1 em ambos os lados e teremos a tese.

por **fantecele** Sex 22 Dez 2017, 17:01

Uma outra forma para essa primeira seria utilizando a seguinte fatoração:

$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}.y+x^{n-3}.y^2+...+x.y^{n-2}+y^{n-1})$

Fazendo x = 7 e y = 1:

$\\7^n-1^n=(7-1)(7^{n-1}+7^{n-2}.1+7^{n-3}.1^2+...+7.1^{n-2}+1^{n-1})\\7^n-1=(6)(7^{n-1}+7^{n-2}+7^{n-3}+...+7+1)$

Isso mostra que "7^n - 1" é divisível por 6.

Por congruência sai mais rápido:

7^n - 1 ≡ 1 - 1 (mod 6)
7^n - 1 ≡ 0 (mod 6)

Na segunda a soma consiste em uma soma dos termos de uma P.A.:

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = (1 + 2n - 1)(n)/2 = n²

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