Demonstração

por BiancaSiqueira Qua 31 Dez 2014, 03:53

Mostre que, entre todos os prismas retos de bases quadradas que têm volume igual a 8m³, o cubo é o que tem menor área total.

por PedroCunha Qua 31 Dez 2014, 05:01

Olá.

Seja \\ a a base da aresta e \\ h a altura do prisma.

Podemos montar as seguintes relações:

\\ \begin{cases} V = 8 \therefore a^2 \cdot h = 8 \\ f(x) = S_t \therefore f(x) = 2S_b + 4S_l \therefore f(x) = 2 \cdot a^2 + 4 \cdot a \cdot h \therefore f(x) = 2 \cdot (a^2 + 2ah) \end{cases}

Pela desigualdade das médias:

\\ \frac{a+h}{2} \geq \sqrt{ah} \therefore a^2 + 2ah + h^2 \geq \frac{32}{a} \therefore a^2 + 2ah \geq \frac{32-ah^2}{a}

Para a área ser mínima, a^2+2ah deve ter o mínimo valor possível e isso ocorre quando \\ a^2+2ah = \frac{8-ah^2}{a} \Leftrightarrow a = h .

Concluímos então que a área total será menor quando o prisma for um cubo.

Creio que seja isso.

Essa questão é do Morgado?

Abraços,
Pedro

por **Elcioschin** Qua 31 Dez 2014, 09:38

Uma outra solução, envolvendo derivadas

a².h = 8 ---> h = 8/a²

S = 2.a² + 4.a.h ---> S = 2.a² + 4.a.(8/a²) ---> S = 2.a² + 32/a ---> S = 2.a² + 32.a-¹

Derivando ---> S' = 4.a - 32.a-² ---> S' = 4.a - 32/a²

Para S ser mínima ---> S' = 0 ---> 4a - 32/a² = 0 ---> (a³ - 8 )/a² = 0 ---> a³ = 8 ---> a = 2

h = 8/a² ---> h = 8/2² ---> h = 2

a = h = 2 ---> Cubo