Geometria Plana I

por Orihara Ter 05 Dez 2017, 23:03

A razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência e a área de um hexágono regular cuja medida do apótema é 10 m, circunscrito à mesma circunferência é 3/8 .

por Castiel Ter 05 Dez 2017, 23:45

$cos30 = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{L}{2}}{10}$

$L = 10\sqrt{3}$

$S1 = \frac{L^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3.10^2\sqrt{3}}{4} = 75\sqrt{3}$

__________________________________________________________

$tg60 = \sqrt{3} = \frac{10}{\frac{M}{2}}$

$M = \frac{20}{\sqrt{3}}$

$S2 = \frac{3M^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3.\frac{400}{3}\sqrt{3}}{2} = 200\sqrt{3}$

_________________________________________________________________

$\frac{S1}{S2} = \frac{75\sqrt{3}}{200\sqrt{3}} = \frac{3}{8}$

por **Elcioschin** Qua 06 Dez 2017, 00:18

Seja ABCDEF o hexágono e O o seu centro (e centro da circunferência de raio R

inscrita nele)
Sejam M, N, P os pontos médios de AB, CD, EF e vértices do triângulo equilátero

OM = ON = OP = 10 = apótema do hexágono ---> R = 10

Lado de MNP ---> Lt = 2.R.cos30º ---> Lt = 2.10.(√3/2) ---> Lt = 10.√3

St = Lt².√3/4 ---> St = (10.√3)².√3/4 ---> St = 75.√3

OA = OB = AB = Lh ---> AM = BM = Lh/2

OA² = AM² + OM² ----> Lh² = (Lh/2)² + 10² ---> Lh² = Lh²/4 + 100 ---> 3.Lh²/4 = 100 ---> Lh = 20.√3/3

Sh = 6.(Lh.10/2) ---> Sh = 6.(20.√3/3).10/2 ---> Sh = 200.√3

St/Sh = 75.√3/200.√3 ---> St/Sh = 75/200 ---> St/Sh = 3/8

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