Questão de radiciação

por LucioJR Sáb 18 Nov 2017, 22:09

Quando eu tento fazer, eu caio numa conta enorme e o resultado não bate com o gabarito
muito obrigado a quem me ajudar

Gabarito a+b

por evandronunes Seg 20 Nov 2017, 18:27

Temos:

x=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right )=\frac{a-b}{2\sqrt{a}\sqrt{b}}=\frac{a-b}{2\sqrt{ab}} \ \ \ (1)

E,

\frac{2a\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}} =\left (\frac{2a\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}} \right ).\left (\frac{x-\sqrt{1+x^2}}{x-\sqrt{1+x^2}} \right ) = 2a \left (\frac{x\sqrt{1+x^2}-1-x^2}{x^2-1-x^2} \right )=

=2a \left (\frac{x\sqrt{1+x^2}-1-x^2}{x^2-1-x^2} \right )= 2a \left (\frac{x\sqrt{1+x^2}-1-x^2}{-1} \right )=

=2a.(1+x^2-x\sqrt{1+x^2}) \ \ (2)

Substituindo (1) em (2):

2a. \left (1+\frac{(a-b)^2}{4ab}-\frac{(a-b)}{2\sqrt{ab}}\sqrt{1+\frac{(a-b)^2}{4ab}} \right ) = 2a. \left (1+\frac{(a-b)^2}{4ab}-\frac{(a-b)}{2\sqrt{ab}}\sqrt{1+\frac{(a-b)^2}{4ab}} \right )=

=2a. \left (\frac{4ab+a^2-2ab+b^2}{4ab}-\frac{(a-b)}{2\sqrt{ab}}\sqrt{\frac{4ab+a^2-2ab+b^2}{4ab}} \right )=

=2a. \left (\frac{a^2+2ab+b^2}{4ab}-\frac{(a-b)}{2\sqrt{ab}}\sqrt{\frac{a^2+2ab+b^2}{4ab}} \right )=

=2a. \left (\frac{a^2+2ab+b^2}{4ab}-\frac{(a-b)}{2\sqrt{ab}}\sqrt{\frac{(a+b)^2}{4ab}} \right )=

=2a. \left (\frac{a^2+2ab+b^2}{4ab}-\frac{(a-b)}{2\sqrt{ab}}\frac{(a+b)}{2\sqrt{ab}} \right )=

=2a. \left (\frac{a^2+2ab+b^2}{4ab}-\frac{a^2-b^2}{4ab} \right )=

=2a. \left (\frac{a^2+2ab+b^2-a^2+b^2}{4ab} \right )=

=2a. \left (\frac{2ab+2b^2}{4ab} \right )=

=2a.2b \left (\frac{a+b}{4ab} \right )=

=a+b

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