Numeros complexos

por Victor Luz Qua 08 Nov 2017, 11:57

(CESESP-SP) Assinale a alternativa que completa corretamente a sentença: A equação z³=(z conjugado), onde z= (a+bi) com a e b reais, definida em C, não admite soluções:

a) reais
b) da forma bi, com b≠0
c) da forma a+bi, com a≠0 e b≠0
d) em C
e) inteiras

Gabarito: c

por evandronunes Qua 08 Nov 2017, 17:38

Sendo z=a+bi, temos:

z^3=\overline{z} \ \ \Rightarrow \ \ \ (a+bi)^3=a-bi \ \ \Rightarrow

a^3+3a^2bi+3ab^2i^2+b^3i^3=a-bi

Como i^2=-1 e \ \ i^3=-i, logo:

a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i=a-bi

(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i=a-bi

De onde monta-se o sistema:

$\begin{cases} a^3-3ab^2=a \\ 3a^2b-b^3=-b \end{cases}$

Para a=0 e b= 0, temos que z=0

Para a=0 e b \neq 0, tem-se que -b^3=-b \Rightarrow b=\pm 1 \Rightarrow z= \pm i

Para a \neq 0 e b = 0, tem-se que a^3=a \Rightarrow a=\pm 1 \Rightarrow z= \pm 1

Para a \neq 0 e b \neq 0, o sistema fica:

$\begin{cases} a^2-3b^2=1 \\ 3a^2-b^2=-1 \end{cases}$

Onde encontra-se a^2= -1/2, logo esse sistema não tem solução.

Portanto, as soluções são 0, -1, 1, -i e i.

Alternativa C.

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