Sistema

Determine os valores de m para os quais o sistema é determinado:

Alguém pode me ajudar sem utilizar determinante?

Bom dia!
Faça pelo método do escalonamento:
Não vou fazer completa para você, mas você deve multiplicar for fatores possíveis de serem somados na equação de baixo e eliminar icógnitas.
Veja:
1) Multiplicando a eq.1 por -2 e somando na eq.2
2) Multiplicando a eq.1 por -2 e somando na eq.3
3) Multiplicando a eq.1 por -3 e somando na eq.4

O sistema fica:

x + 2y - 2z - t = 1
0 - 6y + 2z - t = -3
0 - 6y + 3z - 3t = 7
0 - 7y + 7z + (3 - m)t = -3

Faça o resto a partir dai.
Caso tenha alguma dúvida sobre o processo de escalonamento, esse vídeo do professor Democlis Rocha pode ajuda-lo: https://www.youtube.com/watch?v=s2bAlWcfQm4
Caso ainda fique ocm alguma dúvida é só perguntar.
Espero ter ajudado.