Sistema de equações irracionais

X + y = 20
√x - √y = 2√xy

Como eu resolveria esse sistema ?

x + y  = 20           (I)
√x - √y = 2√(xy)  (II)

Elevando (II) ao quadrado:
x - 2√(xy) + y = 4xy
x + y = 4xy + 2√(xy)  (III) 

Substituindo (III) em (I):
4xy + 2√(xy) = 20
4(xy) + 2√(xy) - 20 = 0
4(√(xy))² + 2(√(xy)) - 20 = 0
2(√(xy))² + (√(xy)) - 10 = 0

Perceba que √(xy) > 0, dessa forma descartaremos a raiz negativa, então:

√(xy) = 2

Daqui basta substituir em (I) ou (II) que você encontrará os valores para x e y.

fantecele88 escreveu:x + y  = 20           (I)
√x - √y = 2√(xy)  (II)

Elevando (II) ao quadrado:
x - 2√(xy) + y = 4xy
x + y = 4xy + 2√(xy)  (III) 

Substituindo (III) em (I):
4xy + 2√(xy) = 20
4(xy) + 2√(xy) - 20 = 0
4(√(xy))² + 2(√(xy)) - 20 = 0
2(√(xy))² + (√(xy)) - 10 = 0

Perceba que √(xy) > 0, dessa forma descartaremos a raiz negativa, então:

√(xy) = 2

Daqui basta substituir em (I) ou (II) que você encontrará os valores para x e y.

Blz só que não entendi como encontro os valores de x e y, no meu livro a resposta é (10+4√6 ou 10-4√6) como chego a esse resultado ?

Então, de √(xy) = 2 elevaremos ao quadrado:
(√(xy))² = (2)²
xy = 4
x = 4/y

Esse resultado você substitui em (I):
x + y  = 20
4/y + y = 20
4 + y² = 20y
y² - 20y + 4 = 0

Daqui tiramos que:
y = (20 ± √384)/2
y = (20 ± 8√6)/2
y = 10 ± 4√6

Se y = 10 + 4√6, teremos x = 10 - 4√6.
Se y = 10 - 4√6, teremos x = 10 + 4√6

Da equação (II) temos que √(xy) > 0, então √x - √y > 0 → x > y, portanto temos que apenas satisfaz a equação os seguintes valores: 
x = 10 + 4√6 e y = 10 - 4√6

Você também poderia fazer √(x) = 2/√(y) e substituir em (II), ia dar a mesma resposta no final.

Isso ai, qualquer dúvida a mais é só perguntar.

fantecele88 escreveu:Então, de √(xy) = 2 elevaremos ao quadrado:
(√(xy))² = (2)²
xy = 4
x = 4/y

Esse resultado você substitui em (I):
x + y  = 20
4/y + y = 20
4 + y² = 20y
y² - 20y + 4 = 0

Daqui tiramos que:
y = (20 ± √384)/2
y = (20 ± 8√6)/2
y = 10 ± 4√6

Se y = 10 + 4√6, teremos x = 10 - 4√6.
Se y = 10 - 4√6, teremos x = 10 + 4√6

Da equação (II) temos que √(xy) > 0, então √x - √y > 0 → x > y, portanto temos que apenas satisfaz a equação os seguintes valores: 
x = 10 + 4√6 e y = 10 - 4√6

Você também poderia fazer √(x) = 2/√(y) e substituir em (II), ia dar a mesma resposta no final.

Isso ai, qualquer dúvida a mais é só perguntar.

Blz vlw