Números complexos

por thaminec 9/10/2017, 10:41 pm

UFCG - o conjunto dos números inteiros k tais que o número complexo w=cos (2pi/3)+i.sen(2pi/3) verifica a identidade (1+w)^k=w^k é equivalente ao conjunto dos:

R= múltiplos de 6

por Herowd 11/10/2017, 1:49 am

Note que w + 1 = 1/2 + i√(3/2) = cos(pi/3) + i.sen(2pi/3). Logo, (1 + w)^k = w^k ⇔ cos(pik/3) + isen(2pik/3) = cos(2pik/3) + i.sen(2pik/3) , pela fórmula de De Moivre. Assim, cos(pik/3) = cos(2pik/3) ⇔ 2pik/3 + 2piv = pik/3 + 2piu com u,v nos inteiros. Ou ainda, 2pik/3 - pik/3 = 2piu - 2piv ⇔ 2k/3 - k/3 = 2u - 2v ⇔ k/3 = 2(u - v) ⇔ k = 6(u-v). Portanto k é o conjunto dos inteiros múltiplos de 6.

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