Logarítmo e Trigonometria.

Me deram essa questão para provar:


Dada a inequação Log (4sen²x - 1) - log (4 - sec²x) > 2 , logo a solução, dentro do intervalo x ∈ ( - π/2 , π/2)
é V = ] - π/4 ; π/6[ U ] π/6 ; π/4 [.


 *(Ambos logarítmos estão na base cosx)


Bom, primeiro eu não tenho certeza sobre a coerência dessa intervalo pelo seguinte motivo: Como a base do log é cosx, então este tem que ser maior que zero e diferente de 1, logo, o zero grau não pode ser solução, já que cos 0º = 1.

log_cosx(4.sen²x - 1) - log_cosx(4 - sec²x) > 2

log_cosx(4.sen²x - 1) - log_cosx(4 - 1/cos²x) > log_cosx(cos²x)

log_cosx(4.sen²x - 1) - log_cosx{(4.cos²x - 1)/cos²x)} - log_cosx(cos²x) > 0

log_cosx(4.sen²x - 1) - log_cosx(4.cos²x - 1) > 0

log_cosx{(4.sen²x - 1)/(4.cos²x - 1)} > log_cosx(1)

cosx > 0 e cosx ≠ 1 ---> 0 < cosx < 1 ---> a base é menor do que 1, logo o sinal da inequação troca:

(4.sen²x - 1)/(4.cos²x - 1) < 1


Agora é contigo

Olá, professor!
Bom, perdoe-me por não ter colocado antes o progresso que fiz na conta, acredito que teria sido mais fácil para o senhor observar minha dúvida. Veja bem, os cálculos até onde o senhor fez eu também fiz sem nenhuma dificuldade, após esse ponto que se tornou um problema, para mim. 
Vou expressar dessa vez meus cálculos:
*Só uma correção, o senhor trocou o sinal nesse ponto (4.sen²x - 1)/(4.cos²x + 1) < 1
 
Bom, vamos lá, após esse ponto fiz o seguinte:
4sen²x -1 < 4cos²x -1
 
4sen²x<4cos²x

cos²x > sen²x

Daqui, tentei seguir a equação de duas formas, sendo a primeira:

cos²x>sen²x     >> (√ em ambos membros)

l cosx l  >  l senx l

Mas achei essa forma meio enjoada de pensar, então refiz assim:

cos²x > sen²x

1-sen²x > sen²x

sen²x < 1/2        [√ em ambos membros]

l senx l < +- √2/2   ~ Por ser módulo, desconsideramos o valor negativo, gerando o seguinte intervalo:

] -Pi/4 ; Pi/4 [

Além disso, precisamos fazer as seguintes condições de existência, devido aos logarítmos:

cosx =/= 1
cos x > 0
4sen²x - 1 > 0
4-sec²x > 0

Devido às C.E.s, achei o seguinte:
0 < cosx < 1        --->  ] -Pi/2 ; Pi/2 [
l  senx  l   >  1/2  --->  ]-Pi/2 ; -Pi/6[ U ]Pi/6 ; Pi/2[
l  cosx  l   >  1/2  --->  ]-Pi/3 ; Pi/3[
Fora o primeiro intervalo que destaquei: ] -Pi/4 ; Pi/4 [

Fazendo a intersecção de todos os intervalos:

]-Pi/4 ; -Pi/6[ U ]Pi/6 ; Pi/4[

E aí que está, segundo o gabarito da prova, seria de ]-Pi/4 ; Pi/6[ U ]Pi/6 ; Pi/4[

Então eu gostaria muito que o senhor pudesse avaliar meus cálculos e me dizer se cometi algum erro, ou se é o gabarito que está errado. Por isso fiz àquela afirmação na minha pergunta:"Bom, primeiro eu não tenho certeza sobre a coerência dessa intervalo pelo seguinte motivo: Como a base do log é cosx, então este tem que ser maior que zero e diferente de 1, logo, o zero grau não pode ser solução, já que cos 0º = 1."

De qualquer maneira, agradeço a disponibilidade do senhor em olhar minha dúvida, um grande abraço!

Obs: Quando eu me deparar com a seguinte situação: sen²x > a , por exemplo, está correto a forma que fiz? Em aplicar módulos? Na primeira vez que tentei resolver, apenas "passei o que estava elevado radiciando", dando um resultado que me pareceu incoerente, então daí pensei em aplicar a raiz dos dois lados, percebendo a aparição do módulo. 
Antes, sem aplicar módulo, tinha dado   senx> +- 1/2

Agraço novamente, professor!

Já editei o sinal na minha solução (em vermelho)

Você fez uma operação matemática proibida na primeira linha: multiplicou ambos os membros por 4.cos²x - 1 
Veja bem, se 4.cos²x - 1 > 0, esta operação é permitida. 
Mas se 4.cos²x - 1 < 0, ao multiplicar você deveria ter invertido o sinal da inequação.

Acontece que não sabemos, a priori se o denominador é positivo ou negativo, assim não sabemos o que fazer com o sinal

O que deve ser feito, então é passar o 1 para o 1º membro:

(4.sen²x - 1)/(4.cos²x - 1) < 1

(4.sen²x - 1)/(4.cos²x - 1) - 1 < 0

(4.sen²x - 1)/(4.cos²x - 1) - (4.cos²x - 1)/4.cos²x - 1) < 0

[(4.sen²x - 1) - (4.cos²x - 1)]/(4.cos²x - 1) < 0

4.[sen²x - cos²x]/(4 .cos²x - 1) < 0

4.[(1 - cos²x) - cos²x]/(4.cos²x - 1) < 0 ---> :4

(1 - 2.cos²x)/(4.cos²x - 1) < 0

Calcule as duas raízes do numerador e as duas do denominador.
Monte uma tabela de sinais (varal) para as duas funções e suas raízes
Determine os intervalos onde cada função é positiva e negativa.
Determina a interseção dos intervalos

Professor, muito obrigado pela sua observação! Acredito que se não fosse por ela, eu continuaria a simplificar incógnitas no denominador, como se fossem sempre positiva.
Fiz como o senhor recomendou, felizmente o resultado obtido foi o mesmo, então acredito que posso assumir que o gabarito foi errado, ficou faltando um menos alí no intervalo do gabarito. 
Fiz da seguinte forma:

f(x) = 1-2cos²x
f(x) = 0 ~ cosx = +- √2/2

g(x) = 4cos²x - 1
g(x) = 0 ~ cosx = +- 1/2

para f(x)/g(x) < 0 , temos o seguinte intervalo, limitado de -Pi/2 ~ Pi/2


]-Pi/2 ; -Pi/3[   U   ]-Pi/4 ; Pi/4[   U   ]Pi/3 ; Pi/2[



Fazendo a intersecção com as condições de existência:

"l  senx  l   >  1/2  --->  ]-Pi/2 ; -Pi/6[ U ]Pi/6 ; Pi/2[
 l  cosx  l   >  1/2  --->  ]-Pi/3 ; Pi/3[ "

Temos:
]-Pi/4 ; -Pi/6[   U   ]Pi/6 ; Pi/4[

Fazendo dessa forma está correto, professor? Obrigado novamente!

Analisando o sinal da função 1 - 2.sen²x, na 1ª volta:

x = 0, x = pi, x = 2.pi ---> f(x) = 1
x = pi/4, x = 3.pi/4, x = 5.pi/4, x = 7.pi/4 ---> f(x) = 0
x = pi/2, x = 3.pi/2 ---> f(x) = -1

0 .... pi/4 .... pi/3 .... pi/2 .....2.pi/3 .... 3.pi/4 .... pi .... 5.pi/4 .... 4.pi/3 .... 3.pi/2 .... 5.pi/3 .... 7.pi/4 .... 2.pi

1 ...... 0 ................. -1 ........................ 0 ........ 1 ........ 0 ...................... -1 ........................ 0 .......... 1

++++ 0 ------------------------------------ 0 +++++++++ 0 ----------------------------------------- 0 ++++++


Analisando o sinal da função 4.cos²x - 1, na 1ª volta:

x = 0, x = pi, x = 2.pi ---> f(x) = 3
x = pi/3, x = 2.pi/3, x = 4.pi/3, x = 5.pi/3 ---> f(x) = 0
x = pi/2, x = 3.pi/2 ---> f(x) = -1

0 .... pi/4 .... pi/3 .... pi/2 .....2.pi/3 .... 3.pi/4 .... pi .... 5.pi/4 .... 4.pi/3 .... 3.pi/2 .... 5.pi/3 .... 7.pi/4 .... 2.pi

3 ...... 1 ................. -1 ........................ 1 ........ 3 ........ 1 ...................... -1 ........................ 1 .......... 3

++++ 0 ------------------------------------ 0 +++++++++ 0 ----------------------------------------- 0 ++++++

Faça agora a interseção.

Note que, em nenhuma das funções aparece pi/6. Acho que o gabarito está errado.

Professor, o senhor trocou a primeira função:
Seria 1 - 2cos²x  ; o senhor fez 1 - 2sen²x


Mas tirando isso, foi dessa forma que fiz mesmo para achar aquele último resultado. 
Para f(x) = 1-2cos²x ; sendo x e ]-Pi/2 ; Pi/2[ encontrei:

-Pi/2      -Pi/4      Pi/4      Pi/2
++++++++ --------- +++++++

e para g(x) = 4cos²x -1 ; sendo x e ]-Pi/2 ; Pi/2[ encontrei:

-Pi/2     -Pi/3      Pi/3     Pi/2
----------++++++++----------

Fazendo a intersecção

-Pi/2     -Pi/3     -Pi/4     Pi/4     Pi/3     Pi/2
----------+++++++--------+++++++-------

para f(x)/g(x) <0 , temos ]-Pi/2 ; -Pi/3[ U ]-Pi/4 ; Pi/4[ U ]Pi/3 ; Pi/2[

Que foi o que coloquei no meu último comentário, professor. Mais uma vez, obrigado