Gemetria analítica

No plano cartesiano, os pares ordenados que pertencem ao conjunto-solução do sistema de inequações y>1 , x>0, x+y<7, x-y<1   determinam um quadrilátero. A área desse quadrilátero, em unidades de área, é igual a: 


a) 12
b)14
c)28
d)24


A resposta é letra B

Olá!

Bom, primeiro existe a necessidade de construir o gráfico das funções:

f: y = 1
g: x = 0
h: x + y = 7
i: x - y = 1

Logo, a região procurada é a região entre as funções f, g, h, i.

O ponto A é o ponto de encontro entre as funções h e i, logo no ponto A h = i, ou seja, isolando o valor de y nas duas funções, temos y = 7 - x e y = x - 1. Fazendo a igualdade, temos 7 - x = x - 1 ---> 2x = 8 ---> x = 4. Substituindo o valor de x na função i(poderíamos substituir na função h também) y = 4 - 1 ---> y = 3. Então o ponto A é (4,3).

O ponto C é onde passa a função f, logo é (0,1). Já o ponto D é onde a função h corta o eixo y, logo o ponto D é (0,7). 
Veja que o ponto B é a interseção entre y = 1 e x - y = 1, então substituindo o valor de y, temos x - 1 = 1 ---> x = 2. Logo B é o ponto (2,1).

Com os pontos dados, separei a figura em duas triângulos, então a área do quadrilátero pode ser dada na soma da área dos dois triângulos.

Utilizando a regra dos determinantes, temos:


Espero ter ajudado!