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semelhança

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Mensagem por JEABM Dom 16 Jul 2017, 19:35

Se puderem construir a figura agradeço.

Pelos pontos A e B de uma reta traçam-se perpendiculares à reta. Sobre elas tomam-se os segmentos AC = 13 cm e BD = 7cm. No segmento AB = 25 cm toma-se um ponto P tal que os ângulos ^APC e ^BPD sejam congruentes. Calcule a medida de AP.
Gabarito: 65/4

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Mensagem por Medeiros Dom 16 Jul 2017, 21:58

semelhança 2017-041
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Mensagem por JEABM Ter 18 Jul 2017, 22:09

grato pela ajuda! 

Very Happy

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Mensagem por Chillinzao Dom 20 Out 2019, 09:12

@Medeiros escreveu:semelhança 2017-041
Por que não dá certo fazer  (7/13) = (x/25-x)?

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Mensagem por Medeiros Dom 20 Out 2019, 15:21

@Chillinzao escreveu:Por que não dá certo fazer  (7/13) = (x/25-x)?

porque você está invertendo a proporção da razão de semelhança. Se no primeiro membro você toma um lado do triâng PBD em relação ao lado homólogo do triâng PAC, no segundo membro deve continuar a tomar a relação na mesma ordem.

Veja como indiquei na segunda linha da minha resposta; tomo sempre a razão entre um lado de um dos triângulos e o lado homólogo (aquele que é visto pelo mesmo ângulo) do outro, nesta ordem (um lado do "um" por um lado do "outro").
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Mensagem por yasminlene Sex 17 Set 2021, 07:52

@Medeiros escreveu:semelhança 2017-041

Qual o caso de congruência?
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Mensagem por Elcioschin Sex 17 Set 2021, 09:22

AAA ---> 3 ângulos iguais

Outro modo de "enxergar" a semelhança e não errar:

No ∆ retângulo BPD ---> tgβ = BP/BD ---> tgβ =(25 - x)/7 ---> I
No ∆ retângulo APD ---> tgβ = AP/AC ---> tgβ = x/13 --->  II

I = II ---> (25 - x)/7 = x/13 ---> x = 65/4
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Mensagem por Medeiros Sab 18 Set 2021, 02:02

@yasminlene escreveu:
@Medeiros escreveu:semelhança 2017-041

Qual o caso de congruência?
NÃO é caso de "congruência"; o caso é de semelhança. Os ângulos são congruentes, os triângulos são semelhantes. O caso é AA, ângulo-ângulo, tendo dois ângulos iguais o terceiro também será. Os triângulos APC e BPD têm os ângulos alfa e reto congruentes por construção (dados dos enunciado).

No desenho, o fornecido pelo enunciado está em preto e aquilo que trabalhei está em outra cor.

A razão da semelhança é construída da seguinte forma: o lado visto pelo ângulo beta de um triângulo está para o lado visto pelo ângulo beta do outro triângulo assim como  o lado visto pelo ângulo alfa do primeiro está para o lado visto pelo ângulo alfa do segundo.
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