Descobrir equações paramétricas da reta

Determine as equações paramétricas da reta s que passa pelo ponto A (-1,4,5) e que é perpendicular a reta r:P(-2,1,1)+t(1,-1,1).

Então, galera... eu sei que como s é perpendicular a r,  u(vetor diretor de s)*v(vetor diretor de r) = 0.

Sendo assim,

(a,b,c)*(1,-1,1) = 0

a -b + c =0 (I).

Depois disso,baseado em uma resolução de outra questão que vi, encontrei o vetor PA = (1,3,4) e calculei o produto misto de u,v e PA e assim encontrei uma segunda equação em função de a, b e c. A equação foi: -7a -3b + 4c = 0.

E por fim resolvi o sistema e encontrei a resposta do gabarito.

O que eu gostaria de saber é: Porque calcular o produto misto nesse caso? Somente para encontrar uma segunda equação em função de a,b e c?

Para maiores explicações, segui o raciocínio dessa mesma questão: https://pir2.forumeiros.com/t62108-geometria-analitica-eq-da-reta e da resposta postada no primeiro comentário.

Pegamos dois pontos de r: B(-2, 1, 1) e C(-1, 0, 2).
Calculamos BM, que é a projeção de BA sobre BC:
BC = (1, -1, 1)
BA = (1, 3, 4)
BM = (1 - 3 + 4)/(3) * (1, 3, 4) = 2/3 * (1, 3, 4) = (2/3, 2, 8/3)

BA = BM + MA
MA = (1, 3, 4) - (2/3, 2, 8/3) = (1/3, 1, 4/3) é o vetor diretor de s.

s: P = (-1, 4, 5) + k(1/3, 1, 4/3)
s: P = (-1, 4, 5) + k(1, 3, 4)

x = -1 + k
y = 4 + 3k
z = 5 + 4k

Sim, o produto misto é necessário para obter novas equações. Entretanto, não é necessário pensar em produto misto. Basta ver que v, u e PA, da resolução do Luck, são LD, e, logo, o det dá 0.