Divergência da série

por AlfredoGuimaraes Qui 25 maio 2017, 10:54

Por que a série a seguir é divergente ??

$\sum _{n=1}^{\infty} \frac{4^{n} \cdot n! \cdot n!}{(2n)!}$

Parece que mesmo indo por todos os possíveis testes de razão e comparação , todos serão inconclusivos !!

Alguém pode dar uma saída ??

por AlfredoGuimaraes Seg 29 maio 2017, 23:51

Vamos observar o termo an da sequência, tão bem como o seu sucessor a(n+1), ora, se a(n+1) for maior que a(n) então temos uma sequência crescente e portanto divergente. Vamos utilizar essa ideia no termo geral dado:

Um termo qualquer da sequência (an) :

$a_{n} = \frac{4^{n}n!n!}{(2n)!}$

Agora o seu posterior a(n+1) :

$\\a_{n+1} = \frac{4^{n+1}(n+1)!(n+1)!}{(2(n+1))!} \;\; \rightarrow \;\; a_{n+1} = \frac{4^{n}n!n!}{(2n)!} \cdot \left (\frac{4(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \right )\\\\\\ a_{n+1} = a_{n} \cdot \left (\frac{4(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \right ) \;\; \rightarrow \;\; \boxed{a_{n+1} = a_{n} \cdot \left (\frac{2n+2}{2n+1} \right )}$

$\\ Se \;\;\;\;a_{n+1} > a_{n} \;, \;\; \frac{2n+2}{2n+1} > 1$

O que de fato é uma verdade (2n+2)/(2n+1) é sempre maior que 1 para qualquer n positivo, portanto o termo sucessor da sequência é sempre maior que o seu antecessor, a sequência cresce e portanto diverge.

Obs: porque o teste da razão é inconclusivo ?

$\\ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{2n+2}{2n+1}$

Se tomarmos o limite desde quociente no infinito:

$\\ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2n+2}{2n+1} = 1 \;\;\ \boxed{Inconclusivo }$

Repare que no cálculo do limite, as constantes +2 e +1 são simplesmente desprezadas no infinito, poderia ser (2n)/(2n) , e o resultado seria o mesmo. No final das contas, é como se o limite "não soubesse" a existência das constantes que então poderiam assumir qualquer valor, sendo assim inconclusivo. Esse é um caso semelhante ao cálculo de uma integral indefinida, onde a derivada de 2n+2 e de 2n+1 são as mesmas, não levando a um cálculo preciso da integral. Entretanto, como sabemos o valor das constantes, podemos nitidamente afirmar que o quociente é sempre maior que 1, fazendo a função divergir.

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