Polinômios
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Polinômios
por Kozo Nobetani Sáb 06 maio 2017, 23:16
Estamos com dúvida para resolver esta questão, poderiam nos ajudar?
(FEI) A equação x³ + bx + c = 0 tem uma raiz igual a 2, sendo b e c números inteiros com c <> 0. Então:
a) c = 2
b) c é par
c) bc é ímpar
d) b e c são pares
e) existem duas raízes complexas conjugadas
(FEI) A equação x³ + bx + c = 0 tem uma raiz igual a 2, sendo b e c números inteiros com c <> 0. Então:
a) c = 2
b) c é par
c) bc é ímpar
d) b e c são pares
e) existem duas raízes complexas conjugadas
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Re: Polinômios
por Kozo Nobetani Dom 07 maio 2017, 00:53
NÃO SABEMOS como ficam o sinal de b e c, para finalizar o nosso raciocínio!?
Sejam p(x) = x³ + ax² + bx + c, e x1, x2 e x3 as raízes desse polinômio, então pela Relação de Girard, temos que:
(i) x1+x2+x3 =-a/1 = -a
(ii) x1.x2+x1.x3+x2.x3 = b/1 = b
(iii) x1.x2.x3 =-c/1 = -c
Foi adotado que 2 é uma raiz, então:
p(2) = 8 + b*2 + c = 0 <=> c=-8-2b ou b=(-8-c)/2
Sejam p(x) = x³ + ax² + bx + c, e x1, x2 e x3 as raízes desse polinômio, então pela Relação de Girard, temos que:
(i) x1+x2+x3 =-a/1 = -a
(ii) x1.x2+x1.x3+x2.x3 = b/1 = b
(iii) x1.x2.x3 =-c/1 = -c
Foi adotado que 2 é uma raiz, então:
p(2) = 8 + b*2 + c = 0 <=> c=-8-2b ou b=(-8-c)/2
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Re: Polinômios
por Kozo Nobetani Dom 07 maio 2017, 16:33
=============
Resolução, achamos que é satisfatório:
Por substituição, notando que 2 é uma raiz, temos que P(2) = 8 + b*2 + c = 0 (I)
Por Briot Ruffini, notando que 2 é uma raiz, temos que Q(x)= x2 + 2x + (b+4) e
R(x)= 2b + 8 + c, e R(x)=0.
Se Q(x)= x2 + 2x + (b+4), então ∆ = 4 – 4(b+4) ó ∆ = -4b-12
O valor de ∆ pode ser negativo, dependendo do valor de b inteiro, então não necessariamente admite raízes conjugadas. (II)
=============
Analisando:
a) c = 2 – errado, pois b e c inteiros, c diferente de 0 e de (I) temos que c=2(-4-b)
b) c é par – certo, mesmo motivo do item a)
c) bc é ímpar – errado, bc é sempre par, pois c é sempre par
d) b e c são pares – errado, pois b=(-8-c)/2, se por hipótese c=-6 então b=-1 será ímpar.
e) existem duas raízes complexas conjugadas – errado, de (II)
=============
Resposta: item b)
Resolução, achamos que é satisfatório:
Por substituição, notando que 2 é uma raiz, temos que P(2) = 8 + b*2 + c = 0 (I)
Por Briot Ruffini, notando que 2 é uma raiz, temos que Q(x)= x2 + 2x + (b+4) e
R(x)= 2b + 8 + c, e R(x)=0.
Se Q(x)= x2 + 2x + (b+4), então ∆ = 4 – 4(b+4) ó ∆ = -4b-12
O valor de ∆ pode ser negativo, dependendo do valor de b inteiro, então não necessariamente admite raízes conjugadas. (II)
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Analisando:
a) c = 2 – errado, pois b e c inteiros, c diferente de 0 e de (I) temos que c=2(-4-b)
b) c é par – certo, mesmo motivo do item a)
c) bc é ímpar – errado, bc é sempre par, pois c é sempre par
d) b e c são pares – errado, pois b=(-8-c)/2, se por hipótese c=-6 então b=-1 será ímpar.
e) existem duas raízes complexas conjugadas – errado, de (II)
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Resposta: item b)
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