Produtos Notáveis e Fatoração

por LGEQN Qua 03 maio 2017, 20:18

O número de zeros que aparecem após a vírgula e antes do primeiro algarismo não nulo da expansão decimal de Raiz de (2^(2004) + 1) é:

a) 300
b) 301
c) 302
d) 303
e) 304

por **petras** Qui 04 maio 2017, 10:17

Compartilho a solução do colega "sousóeu":

Vamos dizer que a raíz desse número é um t com t=n+10^{-m}d
onde n é a parte inteira e d a parte fracionária irracional com d irracional maior que 1 e menor que 10.

t^2 = n^2 + 2nd10^{-m} + 10^{-2m}d^2 = 2^{2004} + 1

é fácil perceber que n=2^{1002}\ pois\ (2^{1002}+1)^2>2^{2004}+1\ e\ t>2^{1002} dai tiramos que:

\\d =10^m(\sqrt{ 2^{2004} + 1}-2^{1002})\\\1<10^m(\sqrt{ 2^{2004} + 1}-2^{1002})<10\\\ \frac{1}{\sqrt{ 2^{2004} + 1}-2^{1002}}<10^m<\frac{10}{\sqrt{ 2^{2004} + 1}-2^{1002}}\\\ 2^{1003}<\sqrt{ 2^{2004} + 1}+2^{1002}<10^m<10(\sqrt{ 2^{2004} + 1}+2^{1002})\\\ 2^{1003}<10^{m} \rightarrow 1003 log(2) < m\rightarrow 301.9 < m\\\ 10^m<10(\sqrt{ 2^{2004} + 1}+2^{1002})<10((2^{1002}+2^{1000})+2^{1002})=10\cdot2^{1000}\cdot9\\\ 10^m<10\cdot2^{1000}\cdot3^2\rightarrow 10^{m-1}<2^{1000}\cdot3^2\\\ {m-1}<1000\cdot log(2)+2log(3)=301.984 \rightarrow m < 302.9\\\ 301.9 < m < 302.9 \rightarrow m=302\rightarrow\\\ \text{logo o primeiro digito ira aparecer depois de 301 zeros}

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