(Saraeva) De um ponto O, através de canais,

por ana tercia Seg 01 maio 2017, 15:26

(Saraeva) De um ponto O, através de canais, situados num plano vertical, que formam diferentes ângulos com a vertical, simultaneamente começam a deslizar grãos de areia. O lugar geométrico dos pontos, nos quais se encontram os grãos de areia, é uma circunferência com centro que varia de posição com o tempo T. Se o coeficiente de atrito entre um grão e o canal é , o raio da circunferência no tempo T é: a)

por **gilberto97** Qua 10 maio 2017, 01:24

Esse problema dos grãos mistura mecânica e geometria analítica. Vamos estudar um grão de areia isolado para depois passarmos para a situação geral.

O grão de areia que desliza

O enunciado é claro. Os canais formam diferentes ângulos com a vertical, logo também devem formar diferentes ângulos com a horizontal.

(Saraeva) De um ponto O, através de canais, Rodar1

(Fonte: link)

É interessante encontrarmos a aceleração do grão que desliza. Observe que ela pode ser obtida através do estudo das forças que atuam no grão. Veja:

$(Saraeva) De um ponto O, através de canais, Gif$

Observe que quanto maior o valor de $(Saraeva) De um ponto O, através de canais, Gif$ , maior será o valor de a. Então os grãos com menor inclinação em relação à vertical deverão percorrer maiores distâncias em menos tempo.

O grão de areia como ponto no plano cartesiano (xOy)

Imaginemos que o grão anterior é um ponto com abscissa x e ordenada y. Inicialmente, algumas considerações:

1. Os grãos são puntiformes
2. Os canais são retas

Admitindo que 1 e 2 sejam afirmações verdadeiras, poderemos prosseguir.

Se o grão de areia agora tem coordenadas (x,y), é fácil ver que $(Saraeva) De um ponto O, através de canais, %7Cx%7C$ . Perceba que estamos dando um tratamento puramente geométrico ao problema inicialmente apenas "físico". Continuando, se a aceleração do grão/ponto segue a mesma direção da resultante Px - Fr, então pode-se dizer que "a" é composta por duas componentes, uma paralela ao eixo x, chamada de ax, e outra paralela ao eixo y, chamada de ay. Do triângulo formado, conclui-se que

$(Saraeva) De um ponto O, através de canais, Gif$ .

Ao decompor a aceleração, admite-se que o grão/ponto move-se tanto na direção x quanto na direção y. Isso é VERDADE. De fato, o grão move-se na diagonal, fazendo variar tanto sua abscissa como sua ordenada. Os deslocamentos em x e y podem ser expressos pelo valor absoluto das coordenadas do ponto, de modo que

$(Saraeva) De um ponto O, através de canais, Gif$ .

Qualquer uma pode ser utilizada, isso não afetará o resultado final. O que procura-se nesse momento é uma relação entre x e y que dará a equação do lugar geométrico dos grãos. Vamos por x.

$(Saraeva) De um ponto O, através de canais, Gif$

Lembra-se da relação $(Saraeva) De um ponto O, através de canais, %7Cx%7C$ ? Ela é o grande trunfo. Tendo a tangente de um ângulo, fatalmente temos seus seno e cosseno.

$(Saraeva) De um ponto O, através de canais, Gif$

Agora que temos tanto seno como cosseno, podemos encontrar uma relação entre x e y.

$(Saraeva) De um ponto O, através de canais, Gif$

Considerando que os grãos estão no quarto quadrante deslizando sobre retas de coeficiente angular negativo, teremos que |x| = x e |y| = -y, então:

$(Saraeva) De um ponto O, através de canais, Gif$

A equação acima, que representa a relação entre x e y dos grãos, é de uma circunferência cujo raio e o centro variam com o tempo. O centro, porém, está sempre no terceiro quadrante. Perceba que o raio cresce mais rápido do que o centro se desloca.

Discussão do resultado

Parece estranho, a priori, que a circunferência esteja centrada no terceiro quadrante enquanto os grãos ficam no quarto. Como isso é possível? Como foi dito anteriormente, o raio cresce mais rápido do que o centro se movimenta por conta do $(Saraeva) De um ponto O, através de canais, Gif$ . Além disso, temos que

$(Saraeva) De um ponto O, através de canais, Gif$

Ou seja, o centro C descreve uma reta de coeficiente angular positivo. Uma ilustração de dois momentos distintos pode ser feita no geogebra e tem o aspecto parecido com o da imagem abaixo.