Progressão Aritmética

por Oziel Ter 21 Mar 2017, 16:53

Provar que se ( 1/(x+y) ,1/(y+z) ,1/(z+x) ) é um P.A. então(z^2, x^2, y^2) também é .

por Oziel Ter 21 Mar 2017, 17:25

Tentei fazer desta maneira :

1/(z+x) - 1/(y+z) = 1/(y+z) - 1/(x+y) = > y-x/((z+x)(y+z)) = x-z/(y+z)(x+y)

= > (y-x)(y+z)(x+y) = (x-z)(z+x)(y+z) = > (y-x)(x+y) = (y-z)(z+x)

y^2 - x^2 = x^2 - z^2 = > (y-x)(x+y) = (x-z)(z+x)

A única coisa que difere um do outro é a primeira ser (y-z) e a segunda ser (x-z).

Fiz errado ou se um for uma P.A necessariamente a outra NÃO vai ser ?

por **Elcioschin** Ter 21 Mar 2017, 19:06

Pa: a, b, c ---> 2.b = a + c

2/(y + z) = 1/(x + y) + 1/(x + z)

2/(y + z) = [(x + z) + (x + y)]/(x + y).(x + z)

2/(y + z) = (2.x + y + z)]/(x² + x.y + x.z + y.z)

2.x² + 2.x.y + 2.x.z + 2.y.z = 2.x.y + y² + y.z + 2.x.z + y.z + z²

2.x² = y² + z² ---> I

Outra PA ---> 2.x² = y² + z² ---> II

I = II ---> Provado

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