Encontrar a imagem da função

Pessoal, como faço para determinar a imagem da função? Preciso sempre fazer o gráfico para encontrar a imagem? Se sim, me ajudem com isso, por favor, pois não estou conseguindo fazer o gráfico para determinar a imagem da seguinte função:

Resposta:
]-օօ ,-1[ ∪ [0, +օօ[

Eu, que evito fazer contas, divido em duas funções, faço o gráfico para cada uma e, depois, divido os gráficos. Para um caso simples como este, fica fácil.

Obrigado, mas ainda me resta uma dúvida: Como dividir os gráficos? Eu interpretei bem os gráficos das três funções, mas não entendi como você soube que f(x) deveria se comportar daquela maneira nos 3º e 4º quadrantes, ou seja, não sei como dividir gráficos. Poderia me explicar, por favor?

Já sabemos que x não pode ser +1 ou -1. Portanto já temos aí duas assíntotas. Não vou discorrer sobre o comportamento da f(x) entre elas porque, pelo visto, você já sabe.

Um pouquinho à esquerda de x=-1, temos g(x)=+1,000...1 e h(x)=0,000...1. A divisão resulta -∞. Analogamente para x um pouquinho à direita de x=+1.

À medida em que x caminha para a esquerda, g(x) cresce potencialmente (x está ao quadrado) em valores positivos e h(x) igualmente em valores negativos, logo a divisão f(x) será sempre negativa. Porém a diferença entre g(x) é h(x) é apenas 1, onde a g(x) é a maior. Então, quando x for muito grande essa diferença de uma unidade é praticamente desprezível e a divisão aproxima-se de 1, um infinitésimo maior (lembre que em valores negativos), ou seja, a f(x) tende a -1 por baixo.
Analogamente quando x caminha para a direita de +1.

Outro modo de ver essa tendência facilmente é atribuir alguns valores para x. Tomando alguns valores confortáveis para nos,
x = -2 -----> f(x) = -4/3
x = -3 -----> f(x) = -9/8
x = -4 -----> f(x) = -16/15
x = -10 ---> f(x) = -100/99
Observe como f(x) "cresce" aproximando-se de -1. Na verdade, a função decresce de -∞ até -1 e cresce de +1 até +∞.

Obrigado, agora eu entendi.