Funções crescente e decrescente

por Convidado Sex 24 Fev 2017, 17:52

Determinar o conjunto dos valores de x para os quais a função f(x)=x²-ln x é crescente.

Eu sei que uma função f é crescente quando f'(x)≥0. Daí:

f'(x)=(x²)'-(ln x)' -> f'(x)=2x-(1/x) -> f'(x)=(2x²-1)/x

f'(x)≥0 -> (2x²-1)/x≥0 -> -√2/2≤x<0 ou x≥√2/2 (que seria a resposta)

Porém, meu gabarito diz que a resposta é: x≥√2/2

O que estou fazendo de errado?

Eu pensei em algo mais ou menos assim: f(x) é composta por uma função quadrática e outra logarítmica. O domínio da função quadrática é os ℝ e o da função logarítmica é o ℝ^*₊.

De ℝ Ո ℝ^*₊=ℝ^*₊e:

ℝ^*₊ Ո -√2/2≤x<0 ou x≥√2/2=x≥√2/2

Assim, sempre que tivermos uma composição de funções devemos fazer a intersecção entre os domínios de cada função para obtermos o domínio "total" da função?

por **mauk03** Sex 24 Fev 2017, 18:42

Vc está esquecendo de considerar o domínio da função no resultado final, pois -√2/2≤x<0 ou x≥√2/2 é apenas solução da inequação, que após fazer a intersecção com o domínio da função (x>0) obtêm-se o resultado do gabarito.

por Convidado Sex 24 Fev 2017, 18:44

Obrigado pela resposta, mauk. Então o raciocínio abaixo está correto?

Eu pensei em algo mais ou menos assim: f(x) é composta por uma função quadrática e outra logarítmica. O domínio da função quadrática é os ℝ e o da função logarítmica é o ℝ^*₊.

De ℝ Ո ℝ^*₊=ℝ^*₊e:

ℝ^*₊ Ո -√2/2≤x<0 ou x≥√2/2=x≥√2/2

Assim, sempre que tivermos uma composição de funções devemos fazer a intersecção entre os domínios de cada função para obtermos o domínio "total" da função?

por **mauk03** Sex 24 Fev 2017, 18:47

Hazengard escreveu:
Assim, sempre que tivermos uma composição de funções devemos fazer a intersecção entre os domínios de cada função para obtermos o domínio "total" da função?

Neste caso onde há uma função do tipo f(x) = g(x) + h(x) com Dg = ℝ então sim, já que qualquer x que não pertença a Dh consequentemente não pertence a Df.