raio de luz

por Paulo Dom 10 Abr 2011, 18:47

A letra a é fácil ,queria uma ajuda na letra b.Se possível detalhado ,agradeço muito a ajuda.
a)Um raio de luz deslaca-se com velocidade c parte do ponto 1 da figura,e é refletida no ponto 2.O raio atinge a superfície a uma distância horizontal x do ponto 1.Demosntre que o tempo t necessário para a luz se deslocar de 1 até 2 é dado por:
$t=\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+x^{2}}+\sqrt{y_{2}^{2}+(l-x)^{2}}}{c}$
b)Faça a derivada de t em relação a x.Iguale a zero a derivada para mostrar que esse tempo atinge o valor mínimo quando $\Theta _{1}=\Theta _{2}$ ,que é a lei da reflexão e corresponde à trajetória do raio.
[img] raio de luz Digitalizar0002u

[/img]

por **Elcioschin** Seg 11 Abr 2011, 11:29

Suponho que vc conheça derivada.

t = (1/c)*(x² + y1²)^(1/2) + (1/c)*[(L - x)² + y2²] ----> Derivando:

t = (1/c)*(1/2)*[(x² + y1²)^(-1/2)]*(2x) + (1/c)*{(1/2)*[(L - x)² + y2²]^(-1/2)}*[2*(L - x)]*(-1)

t = x/c*\/(x² + y1²) - (L - x)/c*\/[(L - x)² + y²] ----> Igualando a zero e simplificando:

x/ \/(x² + y1²) = (L - x)/ \/[(L - x)² + y²] ---> Elevando ao quadrado:

x²/(x² + y1²) = (x² - 2Lx + L²)/(x² - 2Lx + L² + y2²)

x²*(x² - 2Lx + L² + y2²) = (x² + y1²)*(x² - 2Lx + L²)

L²x² + y2²x² = L²x² + y1²x² - 2Ly1²x + y1²L²

(y1² - y21²)*x² - 2Ly1²x + y1²L² = 0

Parábola com concavidade voltada para baixo ----> Mínimo

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