Dúvida em exercício de função polinomial

Determine o domínio da função f(x) = 2x^2 + (raiz quadrada de x^2 - 5x + 4)/ x

Estou com dúvida nesse exercício, eu sei que o x tem que ser diferente de 0, mas a parte de raiz me ... eu tentei achar as raízes dessa função dentro da raiz quadrada em parênteses e achei as raízes "1" e "4", mas dai eu não sei mais raciocinar o que fazer... se alguém puder me dar uma força nesta questão..

Condições:
I) x ≠ 0;
II) x² - 5x +4 ≥ 0

Desenhando a parábola de II e fazendo o estudo do sinal, descobrimos que x ≤ 1 ou x ≥ 4, porém pela condição I, x ≠ 0.
Portanto, D(f)= {x ∈ ℝ / x < 0 ou 0 < x ≤ 1 ou x ≥ 4}

Uma pequena correção:

Não é obrigatório que tenhamos x > 0. Devemos ter inicialmente x ≠ 0.

Solução de x² - 5.x + 4 ≥ 0 ---> x ≤ 1 ou x ≥ 4


Solução final ---> x ≤ 1 ou x ≥ 4 com x  ≠ 0

Thomas, creio que você se equivocou. (Para (x-1)(x-4) > 0 teremos x > 4 e x < 1, basta verificar que para -1 teremos (-2)(-5) = 10 > 0)

\frac{2x^{2} + \sqrt{x^{2}-5x+4}}{x}

Refazendo a solução:
O domínio sob a raiz quadrada precisa ser ≥ 0 no conjunto dos reais.

Você já definiu a primeira condição do denominador que é x ≠ 0 (I). Agora deve definir a condição para o radicando que deverá ≥ 0.
Como já encontrou as raízes, agora precisa estudar onde os valores da função x² -5x + 4 serão positivos ou iguais a zero.

Como a > 0, concavidade para cima:
xxxxxxxxxxxx[1].............[4]xxxx
xxxx(0)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxx(0)xxxxxx[1]..............[4]xxxx

Juntando as duas condições(I) e (II) teremos {x∈ R | x <0 ou 0 < x ≤ 1 ou x ≥ 4}

Calma, calma!
Já estava editando. Mas obrigado pelo aviso!