Função

por viniciusps01 Ter 27 Dez 2016, 03:16

(UFTM-MG–2008) As retas r e s são simétricas com
relação à reta y = x. se a equação de r é y = ax + b,
com a ≠ 0 e b ≠ 0, então a equação de s é
A) y = x/a + b
B) Y = -x/a + b
C) Y = -x/a - b
D) Y = x/a + b/a
E) Y = x/a - b/a <---

por **Elcioschin** Ter 27 Dez 2016, 10:02

Sua questão é de Geometria Analítica e você postou erradamente em Álgebra, violando a Regra XII do fórum. Vou mudar mas tome mais cuidado nas próximas postagens.

Desenhe um sistema xOy e a reta y = x (bissetriz do 1º e 3º quadrantes: faz 45º com eixos x, y)

Escolha um ponto P da reta, por exemplo no 1º quadrante

Por P trace uma reta r: y = a.x + b, tal que b seja positivo ---> ela cruza Y+ em (0, b) e X- em (-b/a, 0). Ela faz um ângulo θ com X+ ---> tgθ = a ---> o ângulo entre r e a bissetriz vale 45º - θ

Desenhe agora a reta s simétrica de r em relação à bissetriz: ela faz o mesmo ângulo 45º- θ com a bissetriz (acima dela) e corta os semi-eixos X+ em b e Y- em -b/a

Ângulo que a reta s faz com X+ vale 45º + (45º - θ) = 90º - θ ---> Coeficiente angular de s = tg(90º - θ) = cotgθ ---> a' = cotgθ

tgθ = a ---> senθ/cosθ = a ---> sen²θ/cos²θ = a² ---> sen²θ/(1 - sen²θ) = a² ---> sen²θ = a² - a².sen²θ ---> sen²θ = a²(a² + 1) ---> senθ = a/√(a² + 1)

cos²θ = 1 - sen²θ ---> cos²θ = 1/√(a² + 1)

cotg²θ = 1/a² ---> cotgθ = 1/a ---> a' = 1/a ---> b' = - b/a

Reta s ---> y = a'.x + b' ---> y = x/a - b/a

por **petras** Ter 27 Dez 2016, 14:07

Apenas para completar o exercício segue o gráfico descrito pelo Mestre.
Função 2rp70is

por **rodrigoneves** Ter 27 Dez 2016, 15:43

Vou dar uma resolução alternativa, mesmo sabendo que ela é mais limitada que aquela proposta pelo professor Elcio:
Sabemos que dois pontos simétricos em relação à bissetriz do primeiro quadrante (y = x) guardam entre si a interessante relação de terem as mesmas coordenadas, mas em ordens opostas.
Isto é, os pontos A(a, b) e B(b, a) são simétricos com relação à tal bissetriz, para todo a e todo b (evidentemente, a ≠ b).
Portanto, se buscamos uma reta simétrica a uma reta dada, com relação à reta y = x, basta permutar, na equação inicial, as variáveis x e y.
Portanto:
\\r: y = ax + b \rightarrow s: x = ay + b \therefore y = \frac{x}{a}-\frac{b}{a}
Diremos ainda, como a ≠ 0, que r e s representam funções, estas sendo inversas uma da outra.

por **Elcioschin** Ter 27 Dez 2016, 20:18

petras

Obrigado pela figura: ficou perfeita

rodrigoneves

Sua solução é corretíssima. Para entendê-la entretanto, deve-se dominar todo o conhecimento básico necessário. Como muitos não conhecem, coloquei o passo-a-passo, para facilitar. A partir de agora todos que lerem vão entender sua solução e poderão aplicá-la em outros problemas similares.

por **petras** Qui 29 Dez 2016, 16:04

Disponha Mestre.

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