POLINÔMIOS UnB

Em uma exposição, o ingresso custa x reais, sendo 6 ≤ x ≤ 20, e o gasto fixo com um visitante é estimado em 6 reais, sendo, portanto, o lucro por visitante igual a x – 6 reais. Pesquisas indicam que o número total, P, de visitantes à exposição depende do preço x do ingresso segundo a relação P(x) = 420 – x². O lucro total é dado por L(x) = a3x³ + a2x² + a1x + a0, em que a3 … 0. Considerando as informações acima, julgue os itens:
1. Qualquer função polinomial de grau três com domínio em todos os números reais, como, por exemplo, Q(x) = b3x³ + b2x² + b1x + b0, possui três raízes complexas — contando-se a multiplicidade de cada uma dessas raízes —, sendo pelo menos uma delas real. 
2. Se o domínio da função L fosse o conjunto dos números reais, então a soma e o produto das raízes de L seriam iguais, respectivamente, 6 e -2.520. 
3. O coeficiente a3 é igual a -1; portanto, a função L(x) é ímpar. 
4. Sabendo que o valor do ingresso que maximiza o lucro total é uma solução da equação -3x² + 12x + 420 = 0, calcule, em dezenas de reais, o lucro total máximo da exposição. Após efetuar todos os cálculos solicitados, despreze, para a marcação no Caderno de Respostas, a parte fracionária do resultado final obtido, caso exista.





GAB E C E 179

L(x) = (x - 6).P(x) ---> L(x) = (x - 6).(420 - x²) ---> L(x) = - x³ + 6.x² + 420.x - 2 520 

a3.x³ + a2.x² + a1.x + a0 =  - x³ + 6.x² + 420.x - 2 520  ---> a3 = -1, a2 = 6, a1 = 420, a0 = - 2520

Relações de Girard:

S = -a2/a1 ---> S = - 6/(-1) ---> S = 6
P = -a0/a1 ---> P = - (-2 520)/(-1) --- P = -2 520 ---> 2 correta

1. Absurdo: ou existem 3 raízes reais ou 1 real e duas complexas

3. Errado: a3 = - 1 mas isto não implica L(x)ímpar

-3.x² + 12.x + 420 = 0 ---> Raízes x =- 10 (não serve) e x = 14

L(x) = (14 - 6).(420 - 14²) ---> L(x) = 8.224 ---> L(x) = 1 792 reais ---> L(x) = 179,2 dezenas de reais ---> L(x) = 179

Obrigado!