Lógica matemática

Qual a diferença de eu dizer isso?

2x=1 <=> x=1/2
2x=1 => x=1/2

Qual dos dois estão certos?? Eu vejo exemplos que usam o condicional e outros o bicondicional, só que, vendo a tabela verdade faz sentido... O primeiro será verdadeiro se as duas estiverem verdadeiras, e no segundo, se o primeiro não for verdadeiro e o segundo não for falso ele será verdadeiro... Então seriam iguais, não?

Eu vejo isso geralmente em equações irracionais, quando elevam os dois lados ao quadrado, mas isso é só um caso entre muitos...

você saber que a bicondicional significa "se e somente se" (matemática) ou "equivalente" (em lógica formal) e que a condicional significa "implica" já ajuda muito. Vejamos o problema de outra forma: 

Todos os homens são mortais (verdadeiro)

Eu sou homem (verdadeiro)

Eu sou homem se e somente se eu for mortal. (como as duas premissas são verdadeiras, então a síntese também será)

Vejamos agora para uma premissa verdadeira e uma previamente indeterminada (falsa) usando novamente a bicondicional, para chegar à uma síntese estranha.

Todos os homens são mortais (verdadeiro) 
Eu sou homem e imortal (indeterminada) 

Logo, eu sou homem se e somente se eu for mortal (mas eu não sou imortal??). ( perceba que a síntese não faz sentido, logo pelo menos uma das ideias é falsa) 

na bicondicional ambas as premissas são interdependentes entre si (se o senador renunciou então ele não cumpriu seu mandato. Perceba que se ele não renunciou ele obrigatoriamente deve ter cumprido seu mandato, ou se ele cumpriu seu mandato então ele não renunciou.)

Deixo para você a demonstração de ambas as premissas falsas que geram uma síntese verdadeira. 

Utilizando agora a condicional comum para o exemplo que você citou ( primeira falsa, segunda verdadeira e síntese correta)

Eu Sou divorciado
Eu já fui casado uma vez
Eu ser divorciado => que eu já fui casado uma vez ( perceba que ter sido casado é condição para eu ser divorciado e não o contrário. Logo não me importa se eu estou divorciado ou não já que para eu chegar nessa condição eu preciso já ter me casado.)

Resposta do demonstração:

 

Acredite ou não, a primeira vez que eu me daparei com isso foi estudando o primeiro volume do Iezzi, mas só entendi como funcionava estudando lógica simbólica em filosofia, já que esse tipo de lógica foi documentada pela primeira vez por Aristóteles. 

olha isso depois : https://drive.google.com/file/d/0B4SrrgwJerVuN2VjOWFhYjMtMDQyNi00YTM0LWI2MjctNGYxODE4ZTA3Mzg2/view?ddrp=1&hl=en&pli=1#