Geometria Analítica

por APSmed Dom 04 Dez 2016, 16:41

Considerando-se o ponto O como a origem do sistema de coordenadas e A e B como as
intersecções da reta 3x − 4y − 12 = 0 com os eixos coordenados, é correto afirmar que uma
equação da circunferência circunscrita ao triângulo OAB é
01) (x-2)²+(y+3/2)²=25/4
02) (x+2)² +(y-3/2)²=25/4
03) (x-2)²+(y-3/2)²=25/4
04) (x-2)²+(y+3/2)²=25
05) (x+2)²+(y+3/2)²=25

Gabarito 01

por **Giovana Martins** Dom 04 Dez 2016, 17:14

Sejam A(0,-3) e B(4,0). Portanto, os lados do triângulo OAB, retângulo em O, são: AO=3, BO=4 e AB=5. A área do triângulo AOB é dada por:

A=AO.BO/2=6

Mas sabemos que a área de um triângulo inscrito numa circunferência é dado por:

A=AO.BO.AB/4R, em que R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. Logo, R=5/2. O diâmetro da circunferência é 5, logo, podemos afirmar que a hipotenusa do triângulo OAB é diâmetro da circunferência. O centro C da circunferência é dado por:

C[(x_A+x_B)/2,(y_A+y_B)/2]=(2,3/2). Como a ordenada do ponto C está no 4° quadrante, C(2,-3/2).

Portanto, (x-2)²+(y+3/2)²=25/4.

por **Elcioschin** Dom 04 Dez 2016, 17:37

Outro modo

Seja M o ponto médio de AB ---> OM = AM = BM = R

M(4/2, -3/2) = M(2, -3/2) é o centro da circunferência

R² = OM² ---> R² = 2² + (3/2)² ---> R² = 25/4

(x - 2)² + (y + 3/2)² = 25/4

por **Giovana Martins** Dom 04 Dez 2016, 17:47

Élcio, eu pensei em fazer desse jeito que você fez mas fiquei em dúvida se a hipotenusa do triângulo retângulo é sempre o diâmetro circunferência. Então, em ocasiões em que há triângulos retângulos inscritos na circunferência eu posso afirmar que a hipotenusa do triângulo é diâmetro da circunferência?

por **Elcioschin** Dom 04 Dez 2016, 17:54

Isto acontece sempre, é uma propriedade geométrica:

Todo triângulo inscritível numa semi-circunferência é retângulo e sua hipotenusa é o diâmetro dela.
Logo, isto também acontece com todo triângulo retângulo inscritível numa circunferência.

por **Giovana Martins** Dom 04 Dez 2016, 18:00

Obrigada, Élcio!

por **Elcioschin** Dom 04 Dez 2016, 18:10

E é bem simples demostrar esta propriedade:

Desenhe uma semi-circunferência de centro O e diâmetro horizontal BC.

Seja um ponto A qualquer do arco BAC. Trace AB, AC e OA ---> OB = OC = OA = R

Seja θ = A^BC

∆ OAB é isósceles (OB = OA = R) ---> OÂB = θ

AÔC é ângulo externo de OÂB ---> AÔC = 2.θ

∆ OAC é isósceles (OC = OA = R) ---> OÂC = O^CA = x

AÔC + OÂC + O^CA = 180º ---> 2.θ + x + x = 180º ---> x = 90º - θ

BÂC = OÂB + OÂC ---> BÂC = θ + (90º- θ) ---> BÂC = 90º ---> C.Q.D.

por **Giovana Martins** Dom 04 Dez 2016, 20:55

Obrigada, Élcio Very Happy

!

por **Medeiros** Dom 04 Dez 2016, 21:09

Ou, de outra forma.

Todo triângulo é inscritível numa circunferência.

Numa circunferência, o ângulo inscrito mede a metade do ângulo central. Se temos que um ângulo inscrito é de 90° então o central vale 180°, ou seja, é o próprio ângulo raso do segmento oposto que, neste caso, é a hipotenusa. Portanto a hipotenusa é diâmetro da circunferência circunscrita.