Equação logaritmica

por Juliana firmino Sáb 03 Dez 2016, 15:41

A soma das raízes reais da equação
3.log2 ∣x∣ + 5.log4x² - 32 = 0 é igual a
A) 0.
B) 15.
C) 16.
D) 32.

Resposta: A

O 2 e o 4 são as bases dos logaritmos.

por **CaiqueF** Sáb 03 Dez 2016, 16:01

por Juliana firmino Sáb 03 Dez 2016, 16:09

Obrigada!

por j_lucasps Qui 17 Fev 2022, 20:40

@CaiqueF, me explica essa mudança aí?

por **Giovana Martins** Qui 17 Fev 2022, 20:51

[latex]\\\mathrm{Propriedade:\ log_{a^b}(c^d)=\frac{d}{b}log_a(c)}[/latex]

por **Rory Gilmore** Qui 17 Fev 2022, 20:51

Deixo em destaque a passagem que você ficou em dúvida. Note que:
log2 x² = log2 lxl + log2 lxl e não log2 x² = log2 x + log2 x porque desconhecemos se x é positivo ou negativo.

I) Resolução:
3.log2 ∣x∣ + 5.log4x² - 32 = 0

3.log2 lxl + 5.log2² x² - 32 = 0

3.log2 lxl + (5/2).log2 x² - 32 = 0

3.log2 lxl + (5/2).(log2 lxl + log2 lxl) - 32 = 0

3.log2 lxl + 5. log2 lxl - 32 = 0

8.log2 lxl = 32

log2 lxl = 4

log2 lxl = log2 16

lxl = 16, e portanto x = 16 ou x = - 16.

Então, a soma das raízes é zero.

por **Giovana Martins** Qui 17 Fev 2022, 21:07

Obrigada, Rory. Acho que só agora eu entendi a dúvida do colega Lucas. A dúvida não era com relação à propriedade dos logaritmos, mas sim em relação ao surgimento do módulo.

Bom, |x²|=|x|²=x² para todo x pertencente aos reais.

Durante o desenvolvimento algébrico foi feito x²=|x|² e em seguida utilizou-se a propriedade que eu indiquei.

por **Rory Gilmore** Qui 17 Fev 2022, 21:34

Exatamente, aquela passagem ficou bastante obscura quando a questão foi resolvida. Utilizou-se a propriedade que você apontou e a propriedade do módulo de uma única vez.

por **Rory Gilmore** Qui 17 Fev 2022, 21:37

Outra coisa, quando eu escrevi aquela resposta já havia digitado a frase "Deixo em destaque a passagem que você ficou em dúvida." antes de ver que você havia respondido a mensagem, então não é nada premeditado kkk.