Dúvida sobre Função Composta

Para que uma composição (f o g)(x) exista, é necessário que: 

X pertença ao Domínio de g 

Imagem de g esteja contida no Domínio de f

Poderiam me explicar com exemplos essas duas composições, pois, estou sem entender.

Aí, primeiramente você tem que entender o que é abssissa e ordenada, domínio e imagem. Abssissa são todos os valores reais do eixo x do plano cartesiano, e ordenada(também chamada de contra-domínio) são todos os valores reais do eixo y. perceba que o domínio de uma função está contido na abssissa e a imagem na ordenada. Ou seja, o domínio é um subconjunto da abssissa e a imagem, um subconjunto da ordenada. Matematicamente o domínio é representado pelos valores x que satisfazem a condição de existência da função, e a imagem pela fórmula f(x).

De forma intuitiva você sabe o que é uma função, é uma regra que transforma um subconjunto primário em outro subconjunto chamado de secundário. Matematicamente a regra é a fórmula da função, o subconjunto primário é o domínio e o secundário é a imagem. Veja que uma função não é apenas a fórmula, ela é composta de 2 ideias: domínio e imagem, e a fórmula. Porém, não pensando dessa forma fica muito propício errar o conceito de função, pois te induz a pensar que a função é apenas a regra(a fórmula) em sí. Se faltar uma dessas ideias eu não posso afirmar que existe uma função. Vou fazer uma analogia com vetores: Para existir um vetor tem que existir módulo, direção e sentido. Se você tiver o módulo, a direção e não tiver o sentido você não tem o vetor. O mesmo vale para a função, se você tiver a fórmula e não tiver o domínio e a imagem, você não tem a função. Resumindo: É necessário, além da fórmula você ter o domínio para que a função exista.

Temos (f o g)(x), veja que (f o g)(x)=f(g(x)). Veja que o domínio de f é a imagem da função g(x)("É necessário que a imagem de g esteja contida no Domínio de f"). Então o domínio de f(ou a imagem de g) só existirá, se a função g(x) existir. E a condição de existencia para uma função é tirar seu domínio. Logo, "é necessário que x pertença ao domínio de g". Com o domínio de g definido, temos a imagem de g definida ou o domínio de f definido.

Fica um pouco difícil entender esses conceitos por aqui. Se não tiver ficado claro, procure alguém que possa acompanhar essa ideia contigo pessoalmente que da tudo certo. Abração!