Analise combinatoria

por renanfelipe Qui 24 Nov 2016, 00:04

Godofredo prestara provas de uma mesma disciplina no mês de outubro, de um mesmo ano, para ingresso em uma universidade. Ele deverá agendar previamente a data de cada avaliação. Godofredo pode escolher qualquer dia do mês de outubro, mas nao deseja realizar provas em dias consecutivos, pois acredita que isso pode prejudicar seu desempenho. Determine o número exato de escolhas de tres dias no mes de outubro em que ele podera realizar as provas demodo que nao as realize em dias consecutivos.

por poisedom Qui 24 Nov 2016, 05:15

Como outubro tem 31 dias, o problema consiste em resolver a equação

x_1+x_2+x_3+x_4=28 \,\,\,\,\,\ (1)

onde os

x_i \in \mathbb {N}

são os dias de outubro onde não haverá prova, totalizando 28 dias e os sinais de + os dias onde ocorrerá as provas, por isso são 3 os sinais

agora observe que

x_2 \geq 1 e x_3 \geq 1

pois entre os dias de provas deverão ocorrer pelo menos 1 dia sem prova

assim

x_2 - 1\geq 0 e x_3 - 1\geq 0

fazendo a mudança de variável

y_2 = x_2 -1 e y_3 = x_3 -1

logo

y_2+1 = x_2 e y_3+1 = x_3

substituindo em (1)

temos

x_1+y_2+1+y_3+1+y_4=28

x_1+y_2+y_3+x_4=28-2

x_1+y_2+y_3+x_4=26

assim o número de soluções dessa ultima equação, onde x_1,y_2,y_3,x_4 são números inteiros não negativos quaisquer, é igual a

CR_{4,26}=\dfrac{(26+4-1)!}{(4-1)! \cdot 26!}=\dfrac{29!}{3! \cdot 26!}=\dfrac{29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26!}{6 \cdot 26!}= \dfrac{21924}{6}=3654

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