Número de algarismos

Hola.

Pense assim: pelo menos 2 algarismos iguais significa: 2, 3 ou 4 algarismoa iguais. Exemplos:
2234 com 2 algarismos iguais
9997 com 3 algarismos iguais
3333 com 4 algarismos iguais

Total de números possíveis: 9*9*9*9 = 9^4 = 6561

Nesse total estão inclusos os números do tipo:
1234, 3598, 7681......., isto é: todos diferentes. Nesse caso, temos:

9*8*7*6 = 3064. Portanto:

6561 - 3064 = 3537

O que estou errando?

Eu abri em casos:

1° caso- 2 números iguais

9.1.8.7

2ºcaso-3 números iguais

9.1.1.8

3ºcaso-4 números iguais

9.1.1.1

Somando tudo 585

Milly escreveu:O que estou errando?

Eu abri em casos:

1° caso- 2 números iguais

9.1.8.7

2ºcaso-3 números iguais

9.1.1.8

3ºcaso-4 números iguais

9.1.1.1

Somando tudo 585

Belo questionamento, também tive essa curiosidade mas só encontrei resoluções pelo método destrutivo, tirando do caso geral um caso que não nos interessa. Tentei de várias formas porque gostaria de descobrir o que há de errado em abrir caso por caso, infelizmente ainda não cheguei na resposta e nem encontrei o erro. Pelo meu raciocínio, abrindo os casos, temos um problema na hora de aplicar o princípio fundamental da contagem:

Considerarei os números na forma (m,c,d,u) em que m é o milhar, c a centena, d a dezena e u a unidade.

1º caso: todos os números iguais
teríamos números na forma (x,x,x,x) e é evidente que do conjunto dos números de 1 a 9 temos 9 possibilidades.

2º caso: 3 números iguais
o que geraria números na forma (x,x,x,y);(x,x,y,x);(x,y,x,x);(y,x,x,x)
aplicando o princípio fundamental da contagem, na escolha de x temos 9 possibilidades, restando 8 para y

=> 9 * 8 = 72

mas perceba que essa aplicação é equivalente a escolher apenas 2 números distintos, ou seja, é equivalente a formar um par ordenado (x,y) com x diferente de y. Dessa forma, não estamos contando as repetições. Outro detalhe, é que ao fazer 9 * 8, achamos todos arranjos para o par (x,y), o que implica que aí estão contabilizadas as permutações entre x e y, dessa forma, os pares (2,9) e (9,2) esto contabilizados, por exemplo. Logo não podemos também multiplicar 9 * 8 por uma permutação de 4 elementos com repetição de 3, uma vez já estão contabilizadas as trocas de posição entre x e y, o que nos levaria a permutar sobre outras permutações.

 A saída que achei mais conveniente foi analisar os casos (x,x,x,y);(x,x,y,x);(x,y,x,x);(y,x,x,x), perceba que em 3 deles x está atrás de y. Assim, é como se adicionássemos aos nossos pares (x,y) as repetições x ou 2 à esquerda, ou 1 à esquerda e outra à direita ou 2 à direita, totalizando 3 casos, assim teríamos:

(9*8*1)  *  3 = 216.

Aqui desprezo o quarto caso não analizado (y,x,x,x) pois ele é exatamente igual ao caso (x,y,x,x), como dito anteriormente, trocar x de lugar com y já está incluso nas permutações que fizemos no arranjo (x,y).

3º caso: exatamente 2 repetidos

Aqui, os números serão da forma
(x,x,y,z); (x,y,x,z);(x,y,z,x), seguindo a lógica do caso anterior, preocupei-me em manter a forma (x,y,z) [uma vez que ao calcular os arranjos já estarão implícitas as permutações do tipo (x,z,y) (y,z,x) etc.] trocando apenas a repetição de lugar. Assim, dos casos analizados temos 3 possibilidades, o que nos leva à:

(9*8*7*1)  *3 = 1512

Somando as possibilidades encontro 1737