demonstração com progressão aritmética

por **petras** Sáb 05 Nov 2016, 15:39

Estou com dificuldade nesta questão.
Os coeficientes do polinômio p(x) = ax^2+ bx + c formam uma progressão aritmética de razão 2, cujo primeiro termo é a, o segundo é b, o terceiro é c.
Demonstrar que se -1 < a < 0, então p(x) possui duas raízes reais distintas.

Tentei fazendo os coeficientes como a, a + 2 e a +4
Ficaria com p(x) = a² x + (a+2)x + a+4
Fazendo o ∆ > 0 (2 raízes reais) → -3a² - 12a + 4 > 0
Calculando as raízes não chego no intervalo de -1 < a < 0.

Alguém poderia ajudar?

por ALEXZOE Sáb 05 Nov 2016, 17:12

Colega, vc pensou tudo muito bem, mas perceba que -1 < a < 0. Asim, a PA ficará -a, -a+2 e -a+4.

daí, P (x) = -ax^2 + (-a+2)x + (-a+4)

Fazendo, ∆ = -3a^2 +12a + 4 > 0, teremos as raízes:

a1 = 2 - √192/6 (SATISFAZ O INTERVALO E SERÁ O PRIMEIRO TERMO DA PA)
a2 = 2 + √192/6 (NÃO SATISFAZ O INTERVALO, MAS É RAIZ DO POLINÔMIO).

A P.A. DE RAZÃO 2 SERÁ:

2 - √192/6, 4 - √192/6, 6 - √192/6,.... PERCEBA QUE o valor de a será negativo, mas a partir do 2º termo teremos valores positivos, pois estamos adicionando A razão 2.

ENTENDIDO?

BONS ESTUDOS!!!!

por **petras** Dom 06 Nov 2016, 18:32

Grato Alexzoe, falhei ao não considerar a condição do a < 0. A questão do "a" ficar fora do intervalo e o próprio intervalo me deixou confuso, pois valores de "a" menores que -1 também geram 2 raizes reais disitintas. (Ex: a = -3, b = -1 e c = 1)

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