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por thiago.bersch Sex 14 Out 2016, 21:13
Um homem deseja levantar um balde de cimento até uma plataforma que está a 12 m acima de sua cabeça, nesta plataforma está um polia que através dela o homem pode levante o balde, puxando com um corda de 24m. O homem sai correndo puxando a corda com uma velocidade de 1,5 m/s. Qual a velocidade do balde quando ele está a 9 metros da plataforma.
Resp. 0,9m/s ou 2m/s
Resp. 0,9m/s ou 2m/s
thiago.bersch- Iniciante
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Re: Taxas relacionadas
por mauk03 Dom 16 Out 2016, 07:04
Sejam h = h(t) a distancia vertical percorrida pelo balde, x = x(t) a distancia horizontal percorrida pelo homem e v = 1,5 m/s a velocidade do homem.
Da relação de Pitágoras:
(12 + h)² = 12² + x² --> h² + 24h - x² = 0 (1)
Derivando a equação (1) em relação ao tempo t e sabendo que x'(t) = v, temos:
2h*h'(t) + 24h'(t) - 2x*v = 0 (2)
Quando 12 - h = 9 --> h = 3 m, obtemos, de (1), que:
3² + 24*3 - x² = 0 --> x = 9 m
Usando o ultimo resultado em (2):
2*3*h'(t) + 24h'(t) - 2*9*1,5 = 0 --> h'(t) = 0,9 m/s
Da relação de Pitágoras:
(12 + h)² = 12² + x² --> h² + 24h - x² = 0 (1)
Derivando a equação (1) em relação ao tempo t e sabendo que x'(t) = v, temos:
2h*h'(t) + 24h'(t) - 2x*v = 0 (2)
Quando 12 - h = 9 --> h = 3 m, obtemos, de (1), que:
3² + 24*3 - x² = 0 --> x = 9 m
Usando o ultimo resultado em (2):
2*3*h'(t) + 24h'(t) - 2*9*1,5 = 0 --> h'(t) = 0,9 m/s
mauk03- Fera
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Re: Taxas relacionadas
por thiago.bersch Dom 16 Out 2016, 08:49
Opa, vlw pela solução. Você poderia me explicar aonde eu errei ?
Eu derivei aquele pitagoi em função do tempo e ficou
X.dx/dt+y.dy/dt=z.dz/dt
Pelo movimento ser solidário dy/dt=dz/dt
então quando y=9, x=12
Assim já substituindo os valores
6dy/dt=12dx/dt.
Bem o que eu achei estranhk nessa solução:
O triângulo retângulo que forma o y fica y= 12, mas o tamanho da corda é:y+z, ou seja, 12+15=27, dá maior que o comprimento da corda
Vlw pela ajuda
Eu derivei aquele pitagoi em função do tempo e ficou
X.dx/dt+y.dy/dt=z.dz/dt
Pelo movimento ser solidário dy/dt=dz/dt
então quando y=9, x=12
Assim já substituindo os valores
6dy/dt=12dx/dt.
Bem o que eu achei estranhk nessa solução:
O triângulo retângulo que forma o y fica y= 12, mas o tamanho da corda é:y+z, ou seja, 12+15=27, dá maior que o comprimento da corda
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thiago.bersch- Iniciante
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Re: Taxas relacionadas
por mauk03 Seg 17 Out 2016, 00:21
Se entendi direito, x é a distancia horizontal percorrida pelo homem, y é a distancia vertical entre o balde e a polia e z é a distancia entre a polia e o homem. Nesse caso sua solução estaria incorreta pois o triângulo de lados x, y e z só é retângulo no momento inicial, e portanto a relação de Pitágoras não valeria sempre.
mauk03- Fera
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Re: Taxas relacionadas
por thiago.bersch Seg 17 Out 2016, 06:37
Então, mas qnd você aplicou Pitágoras foi no momento em que ele não seria necessária triângulo retângulo e não cairia no meu caso que o meu problema, por que triângulo retângulo sempre será, a diferença é quais serão as triplas pitagoricas que vão satisfazer essa relação.Esse problema ficou bem estranho, por que mostrei ele para várias pessoas e cada uma deu uma resposta diferente.
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thiago.bersch- Iniciante
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