Equação da reta tangente à elipse

Opa!

Alguém me ajudaria nessa questão? 

Encontre as equações das retas tangentes à elipse x^2 + 4y^2 = 36 que passa através do ponto (12, 3).  

Eu derivei implicitamente, montei a equação da reta passando pelo ponto (12, 3). A derivada dá o coeficiente da reta num ponto, logo, a reta tangente passa por aquele ponto, então partindo dessa ideia eu manipulei a equação da reta tangente até que cheguei numa equação de segundo grau com incógnita x, obtendo dois resultados: x = 0 e x = 5.75. O x = 0 é uma solução, obtendo a reta y = 3 que passa pelo ponto, entretanto, 5.75 não me dá uma reta tangente.

Equação da reta ---> y - 3 = m.(x - 12) ---> y = m.x + 3 - 12.m

x² + 4.y² = 36 ---> x² + 4.(m.x + 3 - 12.m)² = 36

Desenvolvendo chega-se numa equação do 2º grau na variável x: a.x² + b.x + c = 0

Para as retas serem tangentes o discriminante deve ser nulo:

∆ = 0 ---> b² - 4.a.c = 0 ---> calcule os valores de m

Usando derivadas-->

Como as retas passam pelo ponto (12, 3), então suas equações são da forma:
y - 3 = m(x - 12)
Onde m = y'(a) e (a, b) é o ponto de tangencia.

Para x = a, temos:
a^2 + 4b^2 = 36 --> b = +-√(36 - a^2)/2


Diferenciando implicitamente a equação x^2 + 4y^2 = 36 com relação a x:
2x + 8y*y' = 0 --> y' = -x/4y --> y'(a) = -a/4b = m

Como y - 3 = m(x - 12) passa pelo ponto (a, b), então b - 3 = (-a/4b)(a - 12).

Para b = √(36 - a^2)/2:
√(36 - a^2)/2 - 3 = (-2a/4√(36 - a^2))(a - 12) --> a = 0 e a reta é y = 3

Para b = -√(36 - a^2)/2:
-√(36 - a^2)/2 - 3 = (2a/4√(36 - a^2))(a - 12) --> a = 24/5 e a reta é y = (2/3)(x - 12) + 3

Entendi, muito obrigado!

Não sei porque não tentei fazer isso.

colegas, fazendo Para b = √(36 - a^2)/2:
√(36 - a^2))(a - 12), achei a = 0 ou a = 24/5. e na resposta do colega ele achou a = 0. poderia detalhar essa conta? ou como se explica isso?
Obg desde já!!!
obrigado...

√(36 - a^2)/2 - 3 = (-2a/4√(36 - a^2))(a - 12)
3 - √(36 - a^2)/2 = a(a - 12)/2√(36 - a^2)
6√(36 - a^2) - (36 - a^2) = a(a - 12)
6√(36 - a^2) - 36 + a^2 = a^2 - 12a
√(36 - a^2) = 6 - 2a
36 - a^2 = (6 - 2a)^2 ∧ 6 - 2a ≥ 0
5a^2 - 24a = 0 ∧ a ≤ 3
(a = 0 ou a = 24/5)  ∧ a ≤ 3
∴ a = 0



Pelo WolframAlpha: 
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%9A(36+-+a%5E2)%2F2+-+3+%3D+(-2a%2F(4%E2%88%9A(36+-+a%5E2)))(a+-+12)

obrigado... colega... nao tinha atentado para a C.E.