(Unicamp-SP) - termo geral da progressão

por barbara77 Qua 09 Mar 2011, 12:01

[questao T3, capítulo 8, página 160, livro "Matematica para a escola de hoje" ]

(Unicamp -SP) O produto dos 31 primeiros termos da sequência em que o termo geral An = 1 - [1/(n+1)^2]
com n pertencente a {1,2,3,...} é igual a:

a)63/64
b)30/31
c)1
d)16/31
e)33/64

Resposta:e)

por **Elcioschin** Qua 09 Mar 2011, 12:47

Este é um problema interessantíssimo:

Para n = 1 ----> A1 = 3/4 -------> A1 = 1*(1 + 2)/2²
Para n = 2 ----> A2 = 8/9 -------> A2 = 2*(2 + 2)3/²
Para n = 3 ----> A3 = 15/16 ----> A3 = 3*(3 + 2)/4²
Para n = 4 ----> A4 = 24/25 ----> A4 = 4*(4 + 2)/5²

Facimente se vê que An = n*(n + 2)/(n + 1)²

Logo ----> A31 = 31*33/32²

O produto P vale

P = (1*3/2²)*(2*4/3²)*(3*5/4²)*(4*6/5²)*...........*(31*33/32²)

P = (1*2*3*4*......*31)*(3*4*5*..........*33)/(2*3*4*5*.......*32)²

P = (31!)*(33!/2)/(32!)²

P = (31!)*(33!)/2*(32!)*(32!)

P = (31!)*33*32!/2*(32!)*32*31!

P = 33/2*32

P = 33/64