(UEL-PR) Equação/Função/Inequação Exponencial

Algumas empresas utilizam uma função matemática, denominada curva de aprendizagem, como parâmetro de contratação de mão de obra na área de produção. Essa função pode ser definida como f(x) = a(b-3^-cx), onde a, b e c são constantes reais e x é o tempo medido em dias. O processo desencadeia-se da seguinte forma: primeiramente são selecionados candidatos ao emprego; em seguida, passam por treinamento num setor específico da produção; finalmente, eles exercem seu trabalho em regime de experiência nesse setor por 30 dias. Finalizado o período, são ajustadas as constantes a, b e c à curva f para cada candidato. A empresa define como curva ideal a situação em que a = 45, b = 2 e c = 0, e a contratação ocorrerá se a curva f do candidato selecionado atingir ou ultrapassar a situação ideal no regime de experiência.

Os candidatos João e Paulo obtiveram, respectivamente, como curva de aprendizagem, as funções
f(x) = 15(10/3 - 3^-0,01x) e f(x) = 30(10+15√3/10√3 - 3^0,04x)

Com base no que foi exposto, é correto afirmar que:

a) Paulo não será contratado
b) João não será contratado e Paulo será contratado
c) João será contratado e Paulo não será contratado
d) João e Paulo não serão contratados
e) João será contratado


Eu consegui resolver a esta questão utilizando uma calculadora científica.
Primeiro, eu resolvi a curva ideal:
f(x) = a(b-3^-cx)
f(x) = 45(2-3^0)
f(x) = 45

Depois, eu peguei as curvas de João e Paulo e as coloquei na seguinte condição:
f(x) ≥ 45

Resolvendo por meio de uma calculadora científica, encontrei 39.211654 para João e 54.293092 para Paulo.
Queria saber se tem um método mais "simples" para resolver este cálculo, pois nem sempre podemos utilizar uma calculadora científica para calcular raízes inexatas "complicadas"

O gabarito é b.

Obrigado!

f(x) = a(b-3^{-cx})

1) Vamos considerar t = 30 = x, pois é o período que aos avaliadores tirarem as notas dos candidatos, conforme enunciado

a) Curva ideal
f(30) = 45(2-3^{0*30}) \Rightarrow f(30) = 45*1 = 45

b) Curva f para o candidato Paulo
f(30) = 15(\frac {10}{3}-3^{-0,01*30}) \Rightarrow f(30) = 50-(15.3^{-0,3}) \approx  50-10,5 \approx  39,5

c) Curva f para o candidato João
\\f(30) = 30(\frac {10+15\sqrt {3}}{10\sqrt {3}}-3^{-0,04*30}) \\ \\ f(30) = 30(\frac {36}{17}-0) \approx 30*2 \approx 60

d) Conclusão
P: 39 < 45
J: 60 > 45

2) Para a curva do candidato P encontramos
3^{-0,3} = \sqrt [3]{\frac {1}{3}} = \frac {1}{1,4} = 0,7
Não estava difícil, então fiz o cálculo

Para a curva do candidato J encontramos
3^{-1,2} = \sqrt [8]{3^{-10}} = 0,26
Contudo, olhando para 3^{-1,2} vemos como é um valor muito próximo de 0, na resolução considerei-o como 0 então

Obrigado!

Consegui resolver esta questão de outra maneira, utilizando um método de substituição para encontrar o tempo necessário para cada candidato alcançar a curva ideal.

Para a curva ideal:






Condição para a contração: 



Com o limite de x ≤ 30)

Para João: 















Como , então:


 







Logo, chegamos a conclusão de que João não será contratado, pois para ele alcançar a curva ideal, x terá que ser maior ou igual a 100. Ou seja, ele precisaria de 100 dias para chegar à curva.


Para Paulo:

Resolvi ''desenterrar" este post para ajudar outras pessoas que pesquisarem por esta questão