(Noruega - 2015) Circunferência exteriores

por shady17 Sex 22 Jul 2016, 21:08

Duas circunferências, S1 de raio 30 e S2 de raio 60, são tangentes externas. O ponto T é intersecção em S1 da reta que passa pelos centros de S1 e S2. P é um ponto onde a tangente a S1 em T intersecta uma reta que é tangente a S1 e S2.

(Noruega - 2015) Circunferência exteriores 901uti

(Noruega - 2015) Circunferência exteriores 901uti

Determine o valor de PT²

Spoiler:

por **raimundo pereira** Sáb 23 Jul 2016, 10:39

por shady17 Sáb 23 Jul 2016, 11:28

Obrigado mestre.

por **petras** Qua 27 Mar 2024, 10:36

raimundo pereira escreveu:

Poderia repostar sua solução? A imagem não aparece mais.

Ou se alguém quiser responder

por **Elcioschin** Qua 27 Mar 2024, 13:02

Não ficou claro se T é o ponto de tangência de ambas ou se é o ponto extremo do diâmetro da menor, coincidente com a reta que une os dois centros (T').

Vou mostrar um desenho que abrange ambas as suposições. Proponho usar semelhança de triângulos retângulos.

(Noruega - 2015) Circunferência exteriores Adoisc10

por **petras** Qua 27 Mar 2024, 14:34

Elcioschin escreveu:Não ficou claro se T é o ponto de tangência de ambas ou se é o ponto extremo do diâmetro da menor, coincidente com a reta que une os dois centros (T').

Vou mostrar um desenho que abrange ambas as suposições. Proponho usar semelhança de triângulos retângulos.

Exatamente esse era o problema mas consegui encontrar a imagem e assim pude resolver...

(Noruega - 2015) Circunferência exteriores Sem_tz16

[latex]\triangle EAS_1 \sim \triangle ECS_2 \implies \frac{120+ET}{60} = \frac{30+E} {30}\\\therefore ET = 60\\ \triangle AES_1: 90^2=30^2+AE^2 \implies AE = \sqrt{7200} = 60\sqrt2\\ \triangle S_1DS_2: S_1D^2+30^2 = 90^2 \implies S_D = 60\sqrt2=AC\\ AN=\frac{AC}{2} = 30\sqrt2=MN\\ \triangle ENM \sim \triangle EPT \implies \frac{PT}{MN}=\frac{ET}{EM} \implies \frac{PT}{30\sqrt2}=\frac{60}{60+60}\\ \therefore PT = 15\sqrt2 \implies PT^2 = \boxed{450}[/latex]