(Noruega - 2016) Ângulos na circunferência

por shady17 Seg 25 Jul 2016, 13:06

Cinco pontos A, B, C, D e E estão localizados, nesta ordem, sobre uma circunferência tal que AB=BC=CD=DE e ∠ADE=120°. Qual o valor de ∠CDE?

Spoiler:

por **ivomilton** Seg 25 Jul 2016, 13:32

shady17 escreveu:Cinco pontos A, B, C, D e E estão localizados, nesta ordem, sobre uma circunferência tal que AB=BC=CD=DE e ∠ADE=120°. Qual o valor de ∠CDE?

Spoiler:

Boa tardem shady17.

Se o ângulo ADE mede 120°, então o arco que o subtende deve medir o dobro, uma vez que:
^ADE = arco AE/2
120° = arco AE/2
2*120° = arco AE
Arco ADE = 240°

Assim sendo, a soma dos arcos AB+BC+CD+DE = 360° - 240° = 120°, donde podemos escrever:
Arcos AB = BC = CD = DE = 120°/4 = 30° cada um.

Portanto, arco CE = 2*30° = 60°.

Ora, a medida do ângulo CDE é igual à metade da medida do arco que o subtende, cuja medida é igual a:
360° - 60° = 300°.

^CDE sendo ângulo inscrito, deve medir 300°/2 = 150°.

Um abraço.

por **Elcioschin** Seg 25 Jul 2016, 13:38

Outro modo:

Faça um desenho e trace AD

Sejam A^BC = B^CD = C^DE = x e BÂD = C^DA = y

No quadrilátero ABCDA ---> 2.x + 2.y = 360° ---> y = 180° - x

C^DA + A^DC = C^DE ---> y + 120° = x ---> y = x - 120°

x - 120° = 180° - x ---> 2.x = 300° ---> x = 150°