Olimpíada da Noruega - 98
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Olimpíada da Noruega - 98
Quantas soluções reais existem para a equação modular:
|x-|2x-1||=3
gabarito: -2/3 e 4 ; eu consegui chegar no -2/3 mas nao acho 4, somente 4/3
|x-|2x-1||=3
gabarito: -2/3 e 4 ; eu consegui chegar no -2/3 mas nao acho 4, somente 4/3
iaguete- Jedi
- Mensagens : 253
Data de inscrição : 13/05/2012
Idade : 30
Localização : rio de janeiro
Re: Olimpíada da Noruega - 98
Veja:
|x-|2x-1|| = 3
Dividindo em alguns casos:
I:
x-|2x-1| = 3
x - 3 = |2x-1|
II:
x-|2x-1| = -3
x + 3 = |2x-1|
Desmembrando I e II:
I':
x-3 = 2x - 1
x = -2
-x+3 = 2x - 1
x = 4/3
II':
x+3 = 2x-1
x = 4
-x-3 =2x - 1
x = -2/3
Testando:
|-2 - |-2 - 1|| = 3
|-2 - 3| = 3
5 = 3 --> F
|4/3 - |8/3 - 1|| = 3
|4/3 - 5/3| = 3
|-1/3| = 3
1/3 = 3 --> F
|4 - |2*4 - 1| | = 3
|4 - 7| = 3
|-3| = 3
3 = 3 --> V
|-2/3 - |-4/3 - 1| | = 3
|-2/3 - |-7/3| | = 3
|-9/3| = 3
|-3| = 3
3 = 3 --> V
É isso.
Att.,
Pedro
¹Penso que tenha uma resolução que não envolva testar todas as raízes. Não consegui visualizar as C.E..
|x-|2x-1|| = 3
Dividindo em alguns casos:
I:
x-|2x-1| = 3
x - 3 = |2x-1|
II:
x-|2x-1| = -3
x + 3 = |2x-1|
Desmembrando I e II:
I':
x-3 = 2x - 1
x = -2
-x+3 = 2x - 1
x = 4/3
II':
x+3 = 2x-1
x = 4
-x-3 =2x - 1
x = -2/3
Testando:
|-2 - |-2 - 1|| = 3
|-2 - 3| = 3
5 = 3 --> F
|4/3 - |8/3 - 1|| = 3
|4/3 - 5/3| = 3
|-1/3| = 3
1/3 = 3 --> F
|4 - |2*4 - 1| | = 3
|4 - 7| = 3
|-3| = 3
3 = 3 --> V
|-2/3 - |-4/3 - 1| | = 3
|-2/3 - |-7/3| | = 3
|-9/3| = 3
|-3| = 3
3 = 3 --> V
É isso.
Att.,
Pedro
¹Penso que tenha uma resolução que não envolva testar todas as raízes. Não consegui visualizar as C.E..
PedroCunha- Monitor
- Mensagens : 4639
Data de inscrição : 13/05/2013
Idade : 27
Localização : Viçosa, MG, Brasil
Re: Olimpíada da Noruega - 98
I: x - 3 = |2x-1| , como módulo é sempre não negativo, x-3 ≥ 0 ∴ x ≥ 3 , disso vc descarta as soluções -2 e 4/3 sem precisar testar no final. Analogamente:PedroCunha escreveu:
¹Penso que tenha uma resolução que não envolva testar todas as raízes. Não consegui visualizar as C.E..
II: x + 3 = |2x-1| , x+3≥ 0 ∴ x≥ -3, 4 e -2/3 ok.
Luck- Grupo
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