Inequação Produto e Quociente

por STRiKeR x BuLLeT Qui 21 Jul 2016, 21:34

O conjunto dos valores de m para os quais a equação mx² - (2m - 1)x + (m - 2) = 0 admita raízes distintas e positivas é:

por **laurorio** Sex 22 Jul 2016, 10:38

Sendo Delta > 0, teremos duas raízes reais e distintas. Portanto:

D = (-2m+1)² - 4.m.(m-2) > 0

Resolvendo está expressão acima você encontrará o conjunto que está sendo pedido.

por STRiKeR x BuLLeT Seg 25 Jul 2016, 10:31

Resolvendo a equação acima, encontro m > -1/4, mas a resposta correta é: ]-1/4;0[ ∪ ]2;+∞[. Como chego nesse resultado?

por Matemathiago Seg 25 Jul 2016, 14:17

E porque além de reais e distintas, as raizes precisam ser positivas!

por Matemathiago Seg 25 Jul 2016, 18:56

Se você calcular o delta encontrará D = 4m + 1
Como a questão pede as raízes positivas, podemos afirmar que as raízes são reais. Além disso, são diferentes. Portanto, D>0 e m>-1/4 (condição 1)

No entanto, as raízes devem ser positivas, portanto:
x' = [(2m - 1) + Raiz de (4m + 1)]/2m
Como x'>0, ou o numerador é positivo e o denominador também:
2m>0 -> m>0
(2m - 1) + Raiz de (4m + 1)>0
(2m - 1)> - Raiz de (4m + 1)
4m² - 4m + 1 > 4m + 1
4m² - 8m>0
m>2
De m>0 e m>2, temos m>2 como intersecção, sendo essa uma solução para ser positivo.

Ou como segunda hipótese, o denominador e o numerador são negativos:
2m<0 -> m<0
(2m - 1) + Raiz de (4m + 1)<0
(2m - 1) < -Raiz de (4m + 1)
4m² - 4m + 1 < 4m + 1
4m²< 8m
m<2
De m<2 e m<0 temos que m<0, todavia, m>-1/4 para ser real(condição 1), logo:
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