Fuvest Geometria Plana

Olá Raimundo.

Será que essa questão poderia ser resolvido sem usar Menelaus ?

Menelaus é só a parte que está dentro do retângulo vermelho.
a 1a parte foi resolvido por semelhança de triângulos.

Raimundo, desculpe a ignorância. Não havia observado direito.

Mas não consegui entender aquele segmento que você traçou de A té M, como ele é perpendicular ao lado do triângulo retângulo ADC ? 
Não consegui compreender isso.
=\

Esse perpendicular foi mal .
Na verdade é apenas paralelismo.
Se vc liga A a M e D a P vc forma o triâng. CDP cuja base média é AM , conseq.,  DP é paralela a AM.

Como eu posso afirmar que MA e DP sao paralelas

Dê uma olhada no seu livro de geometria e veja o que diz sobre base média de uma triângulo.

Uma solução usando Geometria Analítica:

Seja um sistema xOy com origem em C e A, P no eixo x
Seja M' o pé da perpendicular de M sobre CA

C(0, 0), A(6.√2, 0), P(12.√2, 0), D(3.√2, 3.√2), M(3.√2/2, 3.√2/2)

M'P = CP - CM' ---> M'P = 12.√2 - 3.√2/2 ---> M'P = 21.√2/2

Coeficiente angular da reta MP = - MM'/M'P = - (3.√2/2)/(21.√3/2) = -1/7

Coeficiente angular da reta AD = - tg45º = - 1

Equação da reta MP --> y - 0 = (-1/7).(x - 12.√2) --> y = - x/7 + 12.√2/7 --> I

Equação da reta AD ---> y - 0 = - 1.(x - 6.√2) ---> y = - x + 6.√2 ---> II

Ponto N --> I = II ---> - xN/7 + 12.√2/7 = - xN + 6.√2 ---> *7 --->

- xN + 12.√2 = - 7.xN + 42.√2 ---> 6.xN = 30.√2 ---> xN = 5.√2

yN = - xN + 6.√2 ---> yN = - 5.√2 + 6.√2 ---> yN = √2 ---> N(5.√2, √2)

DN² = (5.√2 - 3.√2)² + (√2 - 3.√2)² ---> DN² = 8 + 8 ---> DN = 4

Notem que PM e AD são medianas do triângulo PDC. Logo, N é baricentro dele.
DN = 2AD/3 = 2*6/3 = 4.