Equação da função e comprimento de arco

Sendo uma ponte em forma de parábola, em que o comprimento da mesma é 30,5m e que altura é 3,3m, determine a equação da função que represente a ponte.



Não tenho gabarito.
Alguém poderia me ajudar? Eu tentei resolver, mas deu errado! Minha resolução está abaixo.


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MINHA RESOLUÇÃO:

Sendo a função: f(x)=ax² + bx + c
f(0)=0 ---------> c=0

Derivando a função, temos:
f'(x) = 2ax + b

Sabemos que o comprimento de um arco é dado por:


Como os extremos de integração são 0 e -b/a, temos:



Assim, lembrando que 1+tgθ ²= sec²θ , temos:


A primitiva de sec³θ é:



Como θ = arctg b implica que tg (θ)=b e que sec(θ)=√(1+b²), temos:


Mas o comprimento (C) é 30,5. Além disso:
-(b²-4ac)/4a = 3,3
a=-b²/13,2

Logo:


O único valor possível é b=0, o que NÃO FAZ SENTIDO.


Alguém teria outra solução ou poderia me ajudar a encontrar o meu erro?

Bom dia. 

Na verdade, b = 0 não é o único valor possível. Para essa equação você vai precisar de uma calculadora gráfica, utilizei essa: https://www.desmos.com/calculator

Uma excelente aproximação para o valor de b é b = 0,3806 (basta dar zoom).

Obrigado pela ajuda Gilberto! Eu tinha colocado a equação no Wolpham Alpha, mas o gráfico só indicava intersecção com x em 0 e, além disso, nos valores das raízes não aparecia o 0,3806.