(UNICAMP) Equação Algébrica

por Carolziiinhaaah Qui 27 Jan 2011, 19:56

Seja p(x) = x^3 - 12x + 16

a) Use fatoração para mostrar que se x > 0 e x ≠ 2, então p(x) > 0.
b) Mostre que, entre todos os primas retos de bases quadradas que têm volume igual a 8m^3, o cubo é o que tem menor área total.

ps: não tenho o gabarito dessa por se tratar de demonstrações :/

por Diogo Sáb 29 Jan 2011, 22:06

Tentei fazer:

a) Igualando a expressão a zero:

$x^3 - 12x + 16=0$

Pesquisa das raízes racionais: +/-1,+/-2,+/-4,+/-8,+/-16
Percebe-se que 2 é raiz, então, por Briot-Ruffini, obtem-se:

$x^3 - 12x + 16 = ( x^2 + 2x -8 ) ( x -2 ) = 0$

Resolvendo a equação do 2° grau, -4 e 2 são raízes. Então:

$p(x) = (x-2)^2.(x+4)$

A equação está fatorada e as conclusões o enunciado já traz.

b) Nessa questão usei derivada para achar o valor mínimo da expressão, assim como foi referido no tópico "A viagem mais rápida" onde o mestre Euclides a utilizou também.

$V=a^2.b\rightarrow b=8/a^2(I)$

$S=2a^2+4ab$

De (I):

$S=2a^2+4.8a/a^2=2a^2+16a^-^1$

Então, a derivada:

$S`=4a-32a^-^2=(4a^3-32)/a^2$

Igualando a zero para obter o mínimo:

$(4a^3-32)/a^2=0\rightarrow 4a^3=32\rightarrow a^3=8\rightarrow a=2$

$b=8/4=2\rightarrow a=b=2(c.q.d)$