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sistema de equações

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sistema de equações

por John von Neumann jr Qua 04 maio 2016, 22:08

(Iberoamericana) Ache todas a triplas de números reais (x, y, z) tais que

x + y − z = −1
x^2 − y^2 + z^2 = 1
−x^3 + y^3 + z^3 = −1

John von Neumann jr: Jedi; Mensagens : 350
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Re: sistema de equações

por LPavaNNN Sáb 07 maio 2016, 04:30

$x+(y-z)=-1{\color{Red} (1)}\\x^2-(y^2-z^2)=1--->x^2-(y-z)(y+z)=1{\color{Red} (2)}\\-x^3+(y+z)(y^2-yz+z^2)=-1{\color{Red} (3)}\\\text{de 1:}x=(z-y)-1\\\text{substituindo em 2:}(z-y)^2-2(z-y)+1-(y-z)(y+z)=1\\(z-y)[(z-y)-2+(y+z)]=0\\z=y,\vee ,z-y-2+y+z=0;z=1\\\text{achamos a primeira trinca, se z=y, entao x=-1 , usando na terceira equacao:}-(-1)^3+y^3+z^3=-1\\y^3+z^3=-2\\2y^3=-2;y=z=-1\\S_1=(-1,-1,-1)$

$\text{usando agora a possibilidade 2; z=1. Usando na equacao 3:}\\-[(z-y)-1]^3+(y+1)(y^2-y+1)=-1\\-[(1-y-1)]^3+(y+1)(y^2-y+1)=-1\\y^3+y^3-y^2+y+y^2-y+1=-1\\2y^3=-2\\y=-1\\z=1\\x=1\\S_2={1,-1,1}$

acredito que não exista mais soluções, testei ambas nas equações, o resultado confere.

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Re: sistema de equações

por John von Neumann jr Sáb 07 maio 2016, 19:48

Obrigado,está correto,tinha-me esquecido de postar o gabarito:

(−1,−1,−1), (1,−1, 1)

John von Neumann jr: Jedi; Mensagens : 350
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Re: sistema de equações

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