Inequação Logarítmica II

por Lucas Guedes Qua 04 maio 2016, 17:10

$Resolva\ a\ inequa\c{c}\tilde{a}o\ |\log{(x^2-6x+9)}|>\log{x^2-6x+9}$

Resposta:

(NÃO SEI SE A FORMA COM QUE SOLUCIONEI O EXERCÍCIO ESTÁ CORRETA, POR FAVOR SENHORES, ME AJUDEM. SE EXISTIR OUTRA FORMA DE SOLUCIONAR, POR FAVOR COMENTE)

O que fiz foi o seguinte:

Consegui solucionar o exercício através da construção do gráfico da função:

$h(x)=|\log{(x^2-6x+9)}|=|\log{(x-3)^2}|$

O gráfico da função acima é obtido em 3 passos:

1°)Fazemos o gráfico de $f(x)=\log{x^2}$

Inequação Logarítmica II B3jsdy

2°)Deslocamos, o gráfico acima, 3 unidades para a direita e obtemos o gráfico (segundo membro da nossa inequação):

$g(x)=f(x-3)=\log{(x-3)^2}$

Inequação Logarítmica II 16lcrdj

3°)Por último, "refletimos" a parte do gráfico que está abaixo do eixo 0x, e obtemos o gráfico (primeiro membro da nossa inequação):

$h(x)=|f(x-3)|=|\log{(x-3)^2}|$

Inequação Logarítmica II 335fuir

Observando os gráficos acima, vemos que a única "parte" do gráfico de $h(x)=|f(x-3)|=|\log{(x-3)^2}|$ que é diferente do gráfico de $g(x)=f(x-3)=\log{(x-3)^2}$ , é justamente a "parte" em que temos h(x)>g(x), e portanto, é a única parte do gráfico cujos valores de x satisfazem a inequação: $|\log{(x-3)^2}|>\log{(x-3)^2}$ .

Sabendo que o logaritmando deve ser maior que zero: $(x-3)^2>0 \Leftrightarrow x\ne 3$

Daí, vem o conjunto solução que satisfaz h(x)>g(x):
$S=\{x\in\mathbb{R}\quad|\quad2<x<4\quad\land\quad x\ne3\}$

por **Christian M. Martins** Qua 04 maio 2016, 17:55

por Lucas Guedes Qua 04 maio 2016, 19:45

Não entendi o que fez aqui:
$\left | log(x^{2} - 6x + 9) \right | > log(x^{2} - 6x + 9)\\ \; \; \; (II) \; \; \; \; log(x^{2} - 6x + 9) > log(x^{2} -6x + 9) \\ (III) \; \; \; log(x^{2} -6x + 9) < log(-x^{2} +6x - 9)$

Utilizou a definição de módulo?