Progressão Geométrica

por jonathamarques Seg 25 Abr 2016, 08:23

Partindo de um quadrado Q1 cujo lado mede a metros. consideremos os
quadrados Q2 , Q3, Q4, ....., Qn tais que os vértices de cada quadrado sejam os pontos
médios dos lados do quadrada anterior. Calcular. então. a soma das áreas dos quadrados
QI, Q2 ,Q3 ..... Qn·

R: a²[4^n - 1 /3*4^n-1]

por **Christian M. Martins** Seg 25 Abr 2016, 09:04

Note que, sendo a o lado do primeiro quadrado, o do segundo quadrado será a√(2)/2, o do terceiro a/2, e o do n-ésimo quadrado a.(√(2)/2)^{n - 1}; assim, suas áreas serão, respectivamente: a², a²/2, a²/4, ..., a²(1/2)^{n - 1}

Descobrindo a equação que fornece o resultado da soma dos finitos termos de uma progressão geométrica:

S_n = a₁ + a₁q + a₁q² + ... + a₁q^{n - 1}
qS_n = a₁q + a₁q² + a₁q³ + ... + a₁qⁿ

S_n - qS_n = a₁ - a₁qⁿ = a₁(1 - qⁿ)
S_n = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)

Enfim:

S_n = a²(1 - (1/2)ⁿ)/(1 - 1/2) = 2a²(1 - (1/2)ⁿ)

Acho que esse gabarito aí está errado.