Equação trigonométrica

O número de soluções da equação: cosx.cos(90º - x) = 1/2, no intervalo 0 < = x < 360º

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Resp.: C

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Fiz dessa maneira, queria saber onde errei. Obrigado!


cosx(cos90cosx + sen90senx) = 1/2
cosx(0cosx + 1senx) = 1/2
cosx.senx=1/2 (elevei os dois lados ao quadrado)

cos²x.sen²x = 1/4
cos²x.(1 - cos²x) = 1/4
cos²x - cos^4x = 1/4

cos^4x - cos²x + 1/4 = 0 (multipliquei todos por 4)

4cos^4x - 4cos²x + 1 = 0

cos²x = a (I)


4a² - 4a + 1 = 0
delta = 0
a = 1/2

cos²x = 1/2
cosx = +/- raiz de 2/2 (4 soluções, não?) Onde errei?

Uma maneira mais simples:
cos x * sen x = 1/2
2 * cos x * sen x = 1
sen (2x) = 1
Quando que acontece que o seno de 2x é 1?
Somente quando 2x = (π/2)+2kπ
Ou seja, x = (π/4) + kπ;    k∈ℤ
Assim, teremos:
S = {... , -3π/4, π/4, 5π/4, 9π/4, ...}
Mas se consideramos o intervalo [0, 2π] teremos somente duas solucoes!

A sua maneira de resolução:
cos x * sen x = 1/2
cos²x * sen² x = 1/4
4cos²x * (1-cos²x)=1
4cos²x-4*cos⁴x=1
4cos⁴x-4cos²x+1=0
Se cos²x=a, entao:
4a²-4a+1=0
∆ = 0;
a = 1/2 = cos²x
|cos x| = (√2)/2
cos x = ±(√2)/2

O seu erro consistiu que, ao elevar ao quadrado na passagem:
cos x * sen x = 1/2
cos²x * sen² x = 1/4
Você acrescentou duas soluções não verdadeiras. Sempre nesses casos, verifique se todos os valores achados satisfazem.
Por exemplo, teremos segundo sua resolução:
S = {π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4}
1º) cos(π/4)*sen(π/4) = 1/2 ⇒ OK
2º) cos(3π/4)*sen(3π/4) = -1/2 ≠ 1/2 ⇒ Não serve
3º) cos(5π/4)*sen(5π/4) = 1/2 ⇒ OK
4º) cos(7π/4)*sen(7π/4) = -1/2 ≠ 1/2 ⇒ Não serve

Podemos tambem ver que, para que cos x * sen x = 1/2, então os sinais de seno e cosseno são iguais. O que nos dá somente resposta no primeiro e terceiro quadrante.
Ao elevar ao quadrado, você "some" com os sinais e verifica todos os valores que dá numericamente certo, mas com sinais não.

Muito obrigado. 

Eu tentei fazer dessa maneira que você fez. Mas a questão pede o intervalo [0; 2pi [
Nesse intervalo não há apenas 90 graus como solução?

Para o seno de algum ângulo ser 1, é necessário que o ângulo seja 90º, ou (90º+360º) ou (90º+2*360º) + ...

Entao, o ângulo 2x (pois temos que sen 2x = 1) que deverá ser 90º, não que x deva ser 90º.
Isso é, se 2x = 90º, então x = 45º.
Contudo, temos a possibilidade de que 2x = 90º+360º = 470º ---> x = 235º
Que ainda sim teremos que 0 <= x < 360º

Muito obrigado!!