Progressão aritmética e Geométrica

por Carolina. Sex 25 Mar 2016, 18:42

(fuvest 2010 ) Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2 − 3, a3 − 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r é igual a :
a) 3 + √3
b) 3 +√3/2
c) 3 +√3/4
d) 3 - √3/2
e) 3 -√3

Eu fiz assim :
P.A -> a3+a1 /2 = 2
a3+a1 = 4
a1 = 4-a3

P.G -> a2² = a1. a3
5² = (a1+3).(a3-3)
25= a1.a3-3a1+3a3-9
Aí eu substitui o a1 por 4-a3 e ficou :

25= (4-a3).a3 -3(4-a3) + 3a3 - 9

e deu a3²-10a3+46=0 então fui fazer por Bhaskara mas não deu certo pois deu número negativo . Não tem como fazer esse exercício dessa forma então ? Está errado o jeito que eu pensei ?

por **Elcioschin** Sex 25 Mar 2016, 18:55

Porque você quis calcular o valor de a3 ? O que foi pedido é o valor de r !!!

PA ---> 2 - r, 2, 2 + r

PG ----> 5 - r, -1, r - 1 ---> (5 - r).(r - 1) = (-1)² ---> r² - 6r + 6 = 0

Raízes ---> r = 3 + √3 e r = 3 - √3

Para r = 3 + √3 tem-se a1 < 0 ---> Não serve

Solução: r = 3 - √3 ---> Alternativa E

por Carolina. Sex 25 Mar 2016, 19:00

Entendi , é que eu pensei que achando o a3 poderia fazer a3 - a2 e achar a razão .

por biologiaéchato Qui 04 Jan 2018, 13:35

Boa tarde, Mestre Elcio.

Resolvi a equação quadrática e cheguei á:
S={3+\/3} e {3-\/3}.

Como sei qual solução me fornecerá a razão da progressão?Poderia me explicar?

Grato!

por **Elcioschin** Qui 04 Jan 2018, 13:48

Eu já expliquei isto na minha solução original:

Para r = 3 + √3 temos: a₁ = 2 - r ---> a₁ = 2 - (3 + √3) ---> a₁ = - 1 - √3 ----> a₁ < 0

Acontece que o enunciado garantiu que a₁ > 0, logo esta raiz NÃO é válida.

por biologiaéchato Qui 04 Jan 2018, 14:31

O enunciado diz que se tem uma PA:
{a1,a2,a3}
{a1,2,a3}

Temos uma relação:
a2=a1+r
2=a1+r
a1=r-2

Como o enunciado diz que a1>0 :
0>r-2
r<2

Verificando as 2 raízes:
3+\/3=3+1,7=4,7---->Não satisfaz

3-\/3=3-1,7=1,4---->Satisfaz r<2

r=(3-\/3)

Assim está certo?
Forte abraço!