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Equação do 2º Grau

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Mensagem por ivomilton Ter 28 Dez 2010, 00:18

Determine o menor valor inteiro de k para que a equação 2x² + kx + k - 5 = 0 tenha duas raízes reais de sinais contrários, sendo a negativa a de maior valor absoluto.

Caso alguém tenha interesse o problema é do livro Fundamentos de Matemática Elementar, Volume 1, Capítulo 7, Exercício 334.

Agradeço de antemão a todos que conseguirem resolver.









Um abraço.
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Mensagem por Luck Ter 28 Dez 2010, 00:50

Olá ivomilton, fiz assim:
Para que a equação tenha 2 raízes reais de sinais contrários, sendo a negativa de maior valor absoluto, é preciso que:
Soma < 0 e Produto < 0


1) S< 0
-b/a < 0
-k/2 < 0
-k < 0
k > 0

2) P < 0
c/a < 0
(k-5)/2 < 0
k < 5

Fazendo a intersecção de 1 , 2
0< k< 5

Logo, o menor valor inteiro de k é 1.


Última edição por Luck em Ter 28 Dez 2010, 02:41, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Medeiros Ter 28 Dez 2010, 02:16

Olá Luck,
concordo contigo que deverá ser k=1 mas apenas pelos argumentos que você apresentou em:
1) S ----> k > 0 ; e
2) P ----> k < 5 .

Entendo que houve um pequeno engano no argumento (1):
2x² + kx + k - 5 = 0
1) ∆< 0
b² - 4ac < 0
k² - 8k + 20 40 > 0
Pois esta eq. em k não possui raízes reais.

Abs.
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Mensagem por Luck Ter 28 Dez 2010, 02:41

Medeiros escreveu:Olá Luck,
concordo contigo que deverá ser k=1 mas apenas pelos argumentos que você apresentou em:
1) S ----> k > 0 ; e
2) P ----> k < 5 .

Entendo que houve um pequeno engano no argumento (1):
2x² + kx + k - 5 = 0
1) ∆< 0
b² - 4ac < 0
k² - 8k + 20 40 > 0
Pois esta eq. em k não possui raízes reais.

Abs.

Vc ta certo medeiros, errei bobeira no cálculo e sinal, era Delta> 0, mas nao dará raízes reais como vc falou. No caso admite apenas a soma e o produto.
Ja editei...
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Mensagem por ivomilton Ter 28 Dez 2010, 11:15

Medeiros escreveu:Olá Luck,
concordo contigo que deverá ser k=1 mas apenas pelos argumentos que você apresentou em:
1) S ----> k > 0 ; e
2) P ----> k < 5 .

Entendo que houve um pequeno engano no argumento (1):
2x² + kx + k - 5 = 0
1) ∆< 0
b² - 4ac < 0
k² - 8k + 20 40 > 0
Pois esta eq. em k não possui raízes reais.

Abs.

Boa tarde para vocês, Luck e Medeiros!

k² - 8k + 40 > 0 (*)

Fazendo k=3, tem-se:

3² - 8.3 + 40 > 0
9 - 24 + 40 > 0
25 > 0
√Δ = √25 = ±5

Diante da informação de que (*) não tem raízes reais (no que concordo, pois o gráfico de y = k² - 8k + 40 é uma parábola com concavidade para cima e que não toca no eixo das abcissas, levantei um gráfico cujos pontos são os seguintes:

k ....... y
-----------
-5 — 105
-4 — 88
-3 — 73
-2 — 60
-1 — 49
0 — 40
1 — 33
2 — 28
3 — 25
4 — 24 ← vértice
5 — 25
6 — 28
7 — 33
8 — 40
9 — 49
10 — 60
11 — 73
12 — 88
13 — 105

Fazendo um levantamento de todos os possíveis valores inteiros de "k" que, substituídos na equação original, irão gerar equações com raízes reais com sinais opostos, tendo a raiz negativa maior valor absoluto que o da raiz positiva, encontrei as seguintes soluções possíveis:

x = [-k ± √(k²-8k+40)]/4

k ...... x' ........ x"
--------------------
1 ... 1,19 ... -1,69
2 ... 0,82 ... -1,82
3 ... 0,5 ..... -2
4 ... 0,22 ... -2,22

Com exceção de x'=0,5 e x"=2, todos os demais valores são aproximados, pois são resultantes de extrações de raízes não inteiras.

Assim, o menor valor inteiro de "k" será: k=1.






Um abraço.
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Mensagem por Fafa Qua 29 Dez 2010, 00:41

Boa noite

Como as raízes devem ter sinais contrários, então devemos ter, ou seja,

Para x = 0
2*f(0)< 0
2*(k - 5) < 0
k - 5 < 0/2
k < 5 (I)








De (I) e (II) vem 0 < k < 5; então, o menor valor inteiro é k = 1
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Mensagem por Luck Qua 29 Dez 2010, 01:59

A resolução da Fafa seria outro modo de fazer q tb mostrava no vol 1 do mat elementar. Mas nesse caso tb sai simples apenas tirando soma e produto como deu o mesmo valor 0< k < 5 ...
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Mensagem por Medeiros Qua 29 Dez 2010, 04:10

ivomilton escreveu:
Boa tarde para vocês, Luck e Medeiros!

k² - 8k + 40 > 0 (*)

Fazendo k=3, tem-se:

3² - 8.3 + 40 > 0
9 - 24 + 40 > 0
25 > 0
√Δ = √25 = ±5

olá ivomilton,

você tem uma f(x) = 2x² + kx + k - 5 e quer determinar k para que essa f(x) tenha 2 raízes reais conforme as condições de contorno dadas. Para que isso aconteça, o discriminante da f(x) deverá ser positivo: Δx > 0. Porém, ao partir por este caminho, descobrimos que esse determinante é uma função de k:
Δx = g(k) = k² - 8k + 40 .
Achando a solução desta g(k) poderíamos transportar para a g(x) e verificar o que atende. Acontece que o discriminante da g(k) é negativo: Δk < 0 . Portanto, g(k) não tem raízes reais e, como você mesmo viu, é sempre positiva (fica flutuando acima do eixo das abscissas). Ou seja, qualquer número real atribuído a k irá resultar em g(k) = Δx positivo; e isto não resolve o nosso problema de achar "o menor k".

Logo, não conseguimos resolver a g(k) e este caminho não serve pois não nos leva a nada. Por isso devemos abandona-lo e usar apenas o raciocínio mostrado pelo Luck em (1) e (2) -- que, aliás, é um caminho mais fácil.

Abs.
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Mensagem por ivomilton Qua 29 Dez 2010, 08:03

Bom dia, amigos Luck, Fafa e Medeiros!

Realmente as soluções, tanto a do Luck como a de Fafa, são bastante simples e muito claras.
Muito obrigado a vocês dois e também a você Medeiros, pelos seus esclarecimentos.
Entendo que segui por um caminho difícil, não natural, e muito trabalhoso, chegando, apesar de tudo, ao resultado de que "k" inteiro pode ter aqueles 4 valores (1,2,3,4), o mesmo que 0 < k < 5, dos quais o menor valor é mesmo k=1.
Obrigado a todos, pois não tive um estudo 'regular' de matemática, mas a maior parte do aprendi dessa matéria tem sido muito por conta própria.






Tenham todos um abençoado ano novo de 2011!
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Mensagem por JEABM Sex 23 Ago 2019, 01:35

Uma dúvida...
Pq nesse exercício do livro do iezzi volume 1 exercício 333 n da certo....

Determine m para que a equação (m-2)x^2 -3mx + (m+2) = 0 tenha uma raiz positiva e outra negativa.
Gab: -2 < m < 2...


Eu apliquei P < 0 e S < 0

O gab só está usando o P < 0, pq n usa tb o S < 0 como na questão 334 (comentada)?

Grato

JEABM
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