FME-4- Determinantes III

por Pedro Prado Qui 10 Mar 2016, 19:29

Sem desenvolver, demonstrar que:

$\begin{vmatrix} \cos 0 &\cos a &\cos 2a \\ \cos a&\cos 2a &\cos 3a \\ \cos 2a &\cos 3a &\cos 4a \end{vmatrix}=0$

por Convidado Qui 10 Mar 2016, 20:03

Vou demonstrar que o determinante acima é nulo apenas utilizando a regra de Chió para o abaixamento da ordem do determinante.

$\begin{vmatrix} cos0 & cosa &cos2a \\ cosa&cos2a & cos3a\\ cos2a& cos3a &cos4a \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & cosa &cos2a \\ cosa&cos2a & cos3a\\ cos2a& cos3a &cos4a \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} cos2a-cos^{2}a &cos3a-cosa.cos2a \\ cos3a-cosa.cos2a & cos4a-cos^{2}2a \end{vmatrix}$

Cos2a - cos²a= cos²a-sen²a-cos²a=-sen²a
cos3a-cosa.cos2a=cosa.cos3a-sena.sen2a-cos2a.cosa=-sena.sen2a
cos4a-cos²2a=cos²2a - sen²2a - cos²2a=-sen²2a

$\begin{vmatrix} -sen^{2}a &-sena.sen2a \\ -sena.sen2a & -sen^{2}2a \end{vmatrix}$

$(-1)^{2}.\begin{vmatrix} sen^{2}a &sena.sen2a \\ sena.sen2a & sen^{2}2a \end{vmatrix}$

sena.sen2a=sena.2.sena.cosa=2.sen²a.cosa
sen²2a=2.sena.cosa.2.sena.cosa=4.sen²a.cos²a

$\begin{vmatrix} sen^{2}a &2.sen^{2}a.cosa \\ 2.sen^{2}a.cosa & 4.sen^{2}a.cos^{2}a \end{vmatrix}$

$(sen^{2}a)^{2}\begin{vmatrix} 1 &2..cosa \\ 2.cosa & 4..cos^{2}a \end{vmatrix}$

$(sen^{2}a)^{2}(4.cos^{2}a-4.cos^{2}a)=sen^{4}a.0=0$

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