Fatoração

por Yuri Dutra Sáb 05 Mar 2016, 18:34

Determine todos os números Reais que satisfazem:
$2^{x}+3^{x}-4^{x}+6^{x}-9^{x}-1=0$
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
Obs.: Fatorei até certo ponto e estipulei valores para x, a fim de analisar os resultados e cheguei a conclusão de que apenas 1 valor satisfaz (para x=0). Mas não tenho a resposta, não sei a fonte dessa questão, um amigo meu que me mandou essa questão e ele disse que pegou ela no grupo do WhatsApp.

por **Carlos Adir** Sáb 05 Mar 2016, 19:39

$\\ \mathrm{2^x +{\color{Red} 3x}-4^x+{\color{Red} 6x}-{\color{Red} 9x}-1=0} \\ \mathrm{2^x - 4^x -1 =0} \\ \mathrm{2^x - \left(2^2 \right )^x - 1=0} \\ \mathrm{\left(2^{x}\right)^2 -\left(2^{x}\right)+1=0} \\ \mathrm{Fazendo \ 2^x = y, \ entao:} \\ \mathrm{y^2 - y + 1 =0} \\ \mathrm{y=\dfrac{1\pm \sqrt{-3}}{2}=\dfrac{1 \pm i \cdot \sqrt{3}}{2}}$
Como temos então y um complexo:
$\\ \mathrm{2^x = y=\dfrac{1 \pm i \cdot \sqrt{3}}{2}} \\ \mathrm{x = \log_2 \left(\dfrac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \right )} \\ \mathrm{x = \log_2 \left(1 \pm i\sqrt{3} \right ) - 1}$
Então x também é um complexo e temos então nenhum valor para x real e a opção é a letra A

Uma outra maneira de escrever x compreende em usar exponenciais:
$\\ \mathrm{y=\dfrac{1}{2} \pm i \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=cos \left(\dfrac{\pm \pi}{3} \right )+ i \cdot sen \left(\dfrac{\pm \pi}{3} \right )=e^{i \cdot \frac{\pm \pi}{3}}}$
$\\ \mathrm{2^x=e^{i \cdot \frac{\pm \pi}{3}}} \\ \mathrm{x = i \cdot \left(\dfrac{ \pm \pi}{3} \right ) \cdot \log_2 e}$
E se trata de um complexo puro.

Um extra: O valor mais próximo de $\\ \mathrm{2^x - 4^x - 1}$ , equivale a (-3/4), isto quando x=-1.

por Yuri Dutra Sáb 05 Mar 2016, 20:04

Carlos Adir escreveu: $\\ \mathrm{2^x +{\color{Red} 3x}-4^x+{\color{Red} 6x}-{\color{Red} 9x}-1=0} \\ \mathrm{2^x - 4^x -1 =0} \\ \mathrm{2^x - \left(2^2 \right )^x - 1=0} \\ \mathrm{\left(2^{x}\right)^2 -\left(2^{x}\right)+1=0} \\ \mathrm{Fazendo \ 2^x = y, \ entao:} \\ \mathrm{y^2 - y + 1 =0} \\ \mathrm{y=\dfrac{1\pm \sqrt{-3}}{2}=\dfrac{1 \pm i \cdot \sqrt{3}}{2}}$
Como temos então y um complexo:
$\\ \mathrm{2^x = y=\dfrac{1 \pm i \cdot \sqrt{3}}{2}} \\ \mathrm{x = \log_2 \left(\dfrac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \right )} \\ \mathrm{x = \log_2 \left(1 \pm i\sqrt{3} \right ) - 1}$
Então x também é um complexo e temos então nenhum valor para x real e a opção é a letra A

Uma outra maneira de escrever x compreende em usar exponenciais:
$\\ \mathrm{y=\dfrac{1}{2} \pm i \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=cos \left(\dfrac{\pm \pi}{3} \right )+ i \cdot sen \left(\dfrac{\pm \pi}{3} \right )=e^{i \cdot \frac{\pm \pi}{3}}}$
$\\ \mathrm{2^x=e^{i \cdot \frac{\pm \pi}{3}}} \\ \mathrm{x = i \cdot \left(\dfrac{ \pm \pi}{3} \right ) \cdot \log_2 e}$
E se trata de um complexo puro.

Um extra: O valor mais próximo de $\\ \mathrm{2^x - 4^x - 1}$ , equivale a (-3/4), isto quando x=-1.

Desculpe, mas digitei errado a questão. Obrigado pela ajuda, e, mais uma vez, desculpa pelo meu erro na digitação da questão. Se ainda puder me ajudar com a questão certa, ficaria muito grato.

por Yuri Dutra Dom 06 Mar 2016, 11:10

Fatorei da seguinte maneira:

$\\2^{x}+3^{x}-4^{x}+6^{x}-9^{x}-1=0 \\2^{x}+3^{x}+6^{x}-(2^{x})^{2}-(3^{x})^{2}=1 \\2^{x}+3^{x}+6^{x}-(2^{x})^{2}-(3^{x})^{2}-2*6^{x}+2*6^{x}=1 \\(2^{x}+3^{x})-(2^{x}+3^{x})^{2}+3*6^{x}=1 \\(2^{x}+3^{x})*[1-(2^{x}+3^{x})]+3*6^{x}=1 \\ para \ x=0 \\(2^0+3^0)[1-(2^0+3^0)]+3*6^0=1 \\2(-1)+3*1=1 \\1=1$

E analisei para x=0 e satisfez a equação e então analisei para x=1 e vi que não satisfez a equação. Portanto pensei que se aumentar ou diminuir os valores para x isso nunca irá satisfazer a equação apenas o zero. Logo encontrei apenas um valor real possível para x.
Gostaria de saber se meu raciocínio está errado.

por **Carlos Adir** Dom 06 Mar 2016, 11:33

Está certo o raciocinio. Mas nada nos garante que não existe a possibilidade de x=0.1 por exemplo, mas isso fica pra pessoas mais criteriosas.
A resolução não consegui fazer através dos métodos tradicionais. Consegui utilizando calculo diferencial(caso saiba utilizar, posto aqui a resolução).
E realmente só há uma solução: x = 0. Não visualizei nenhuma fatoração possível.